Упр.618 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны треугольники ABC, A1B1C1 и две точки O и P пространства. Известно, что OA + OP = OA1, OB + OP — OB1, OC + OP = OC1. Докажите, что стороны треугольника A1B1C1 соответственно равны и параллельны сторонам треугольника ABC.

Из равенства $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA_1}$$ получаем

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AA_1}.$$

Аналогично из равенств $$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB_1}$$ и $$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC_1}$$ имеем

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{BB_1}, \qquad \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{CC_1}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}.$$

Значит, отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ равны и параллельны. Поэтому четырёхугольники $$AA_1B_1B$$ и $$BB_1C_1C$$ являются параллелограммами, а точки $$A_1, B_1, C_1$$ получаются из точек $$A, B, C$$ одним и тем же параллельным переносом на вектор $$\overrightarrow{OP}$$.

Отсюда следует, что

$$\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{C_1A_1}=\overrightarrow{CA}.$$

Значит, стороны треугольника $$A_1B_1C_1$$ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника $$ABC$$.

Ответ

$$A_1B_1 \parallel AB,\quad B_1C_1 \parallel BC,\quad C_1A_1 \parallel CA,$$ при этом $$A_1B_1=AB,\; B_1C_1=BC,\; C_1A_1=CA.$$