Упр.618 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны треугольники $$ABC$$, $$A_1B_1C_1$$ и две точки $$O$$ и $$P$$ пространства. Известно, что $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA_1}$$, $$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB_1}$$, $$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC_1}$$. Докажите, что стороны треугольника $$A_1B_1C_1$$ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Из равенства $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA_1}$$ получаем

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AA_1}.$$

Аналогично из равенств $$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB_1}$$ и $$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC_1}$$ имеем

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{BB_1}, \qquad \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{CC_1}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}.$$

Значит, отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ равны и параллельны. Поэтому точки $$A_1, B_1, C_1$$ получаются из точек $$A, B, C$$ параллельным переносом на один и тот же вектор $$\overrightarrow{OP}$$. Тогда треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны и расположены параллельно, то есть стороны треугольника $$A_1B_1C_1$$ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника $$ABC$$.

Ответ: $$A_1B_1 \parallel AB,\; B_1C_1 \parallel BC,\; A_1C_1 \parallel AC$$ и $$A_1B_1=AB,\; B_1C_1=BC,\; A_1C_1=AC.$$