Упр.617 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите сумму векторов: а) AB + B1C1 + DD1 + CD; б) B1C1 + AB + DD1 + CB1 + BC + A1A; в) BA + AC + CB+DC + DA.

Используем переместительный и сочетательный законы сложения векторов, а также то, что противоположные рёбра параллелепипеда равны и сонаправлены.

а)

$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1})+(\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CD}) $$
$$ = (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD_1}) = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{AD_1}. $$

б)

$$ \overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A_1A} $$
$$ = (\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{B_1C_1})+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{A_1A}) $$
$$ = \overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{D_1D}) = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{AC_1}. $$

в)

$$ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA} = (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{BA} $$
$$ = \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB}. $$

Ответ

а) $$\overrightarrow{AD_1}$$; б) $$\overrightarrow{AC_1}$$; в) $$\overrightarrow{DB}$$.