Упр.617 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите сумму векторов:

а) $$AB+B_1C_1+DD_1+CD$$;

б) $$B_1C_1+AB+DD_1+CB_1+BC+A_1A$$;

в) $$BA+AC+CB+DC+DA$$.

Используем правило сложения векторов и то, что противоположные рёбра параллелепипеда равны и сонаправлены.

а)
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD_1})$$
Так как $$\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{CC_1},$$ получаем
$$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD_1}) = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{AD_1}.$$

б)
$$\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A_1A}$$
Сгруппируем слагаемые:
$$(\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{B_1C_1})+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{A_1A})$$
Тогда
$$\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{CC_1}, \qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{D D_1}+\overrightarrow{D_1A}=\overrightarrow{DA}.$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC_1}.$$

в)
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$$
Сначала сложим соседние векторы:
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}.$$
В параллелограмме $$DCBA$$ сумма двух соседних векторов равна диагонали:
$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}.$$

Ответ: а) $$\overrightarrow{AD_1}$$; б) $$\overrightarrow{AC_1}$$; в) $$\overrightarrow{DB}$$.