Упр.614 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На рисунке 120 изображён правильный октаэдр. Докажите, что:

1. $$AB+FB=DB$$;
2. $$AC-CF=EC$$;
3. $$AB+AC+AD+AE=2AF$$.

Так как $$ABCDEF$$ — правильный октаэдр, то все его грани — равные ромбы.

Рассмотрим по пунктам.

1. Четырёхугольник $$ABFD$$ — ромб, значит, по правилу параллелограмма сумма двух соседних векторов равна диагонали этого параллелограмма:

   $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BF}=-(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF})=-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DB}.$$

2. Четырёхугольник $$ACFE$$ — ромб, поэтому

   $$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CF}=-(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF})=-\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EC}.$$

3. Сложим векторы попарно:

   $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}).$$

   В ромбах $$ABFD$$ и $$ACFE$$ по правилу параллелограмма имеем

   $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AF}, \qquad \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}.$$

   Тогда

   $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AF}.$$

Таким образом, все три равенства доказаны.