Упр.613 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан параллелепипед $$MNPQM_1N_1P_1Q_1$$. Докажите, что:
   а) $$\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MQ_1}=\overrightarrow{NP_1}+\overrightarrow{NP}$$;
   б) $$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NP_1}=\overrightarrow{NQ_1}$$;
   в) $$\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QQ_1}=\overrightarrow{QP_1}$$.

Пусть $$\vec{MN}=\vec a,$$ $$\vec{MQ}=\vec b,$$ $$\vec{MM_1}=\vec c.$$ Тогда в параллелепипеде все параллельные и равные рёбра задаются этими векторами.

Доказательство

а) Так как противоположные рёбра параллелепипеда равны и параллельны, то

$$\vec{MQ}=\vec{N_1P_1}, \qquad \vec{M_1Q_1}=\vec{NP}.$$

Следовательно,

$$\vec{MQ}+\vec{M_1Q_1}=\vec{N_1P_1}+\vec{NP}.$$

б) В параллелепипеде диагонали параллельных и равных параллелограммов равны и параллельны, поэтому

$$\vec{PQ}=\vec{NM}, \qquad \vec{NP_1}=\vec{MQ_1}.$$

Тогда

$$\vec{PQ}+\vec{NP_1}=\vec{NM}+\vec{MQ_1}=\vec{NQ_1}.$$

в) Аналогично,

$$\vec{Q_1P_1}=\vec{QP}, \qquad \vec{QQ_1}=\vec{P_1P}.$$

Поэтому

$$\vec{Q_1P_1}+\vec{QQ_1}=\vec{QP}+\vec{P_1P}=\vec{QP_1},$$

что и требовалось доказать.