Упр.612 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В тетраэдре $$ABCD$$ точки $$K$$ и $$M$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$CD$$. Докажите, что середины отрезков $$KC$$, $$KD$$, $$MA$$ и $$MB$$ являются вершинами некоторого параллелограмма.

Обозначим середины отрезков $$KC,$$ $$KD,$$ $$MA$$ и $$MB$$ через $$F,$$ $$H,$$ $$E$$ и $$G$$ соответственно.

Тогда в треугольнике $$DKC$$ отрезок $$FH$$ — средняя линия, значит

$$FH \parallel DC,\qquad FH=\frac12 DC.$$

А в треугольнике $$ABM$$ отрезок $$GE$$ — средняя линия, значит

$$GE \parallel AB,\qquad GE=\frac12 AB.$$

Пусть $$O=FH\cap KM$$ и $$O=GE\cap KM.$$

Рассмотрим треугольники $$FAO$$ и $$CAM.$$ У них

$$\angle AOF=\angle AMO,$$

так как точки $$O,F,H,K,M$$ лежат в одной плоскости, а также

$$\angle AFO=\angle ACM,$$

поскольку $$FH \parallel DC$$ и $$O\in FH.$$ Следовательно, $$\triangle FAO \sim \triangle CAM.$$

Отсюда

$$\frac{FA}{CA}=\frac{OA}{MA}=\frac{FO}{CM}.$$

Так как $$F$$ — середина $$KC,$$ то $$FA=\frac12 CA,$$ значит

$$\frac12=\frac{FO}{CM},\qquad CM=2FO.$$

Аналогично из подобия соответствующих треугольников получаем, что $$MD=2HO.$$ Но по условию $$CM=MD,$$ значит

$$2FO=2HO,\qquad FO=HO.$$

Следовательно, $$O$$ — середина отрезка $$FH.$$

Точно так же из равенства $$AK=KB$$ получаем, что $$O$$ — середина отрезка $$GE.$$

Итак, диагонали четырехугольника $$EFGH$$ пересекаются и делятся пополам в точке $$O$$. Значит, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Ответ: середины отрезков $$KC,$$ $$KD,$$ $$MA$$ и $$MB$$ являются вершинами параллелограмма.