Упр.612 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD точки K и M — середины ребер AB и CD. Докажите, что середины отрезков КС, KD, MA и MB являются вершинами некоторого параллелограмма.
Обозначим через F, G, H, E середины отрезков $$KC,$$ $$BM,$$ $$KD$$ и $$AM$$ соответственно.
Тогда в треугольнике $$KDC$$ отрезок $$FH$$ — средняя линия, значит
$$FH \parallel DC,\qquad FH=\frac12\,DC.$$
А в треугольнике $$ABM$$ отрезок $$GE$$ — средняя линия, поэтому
$$GE \parallel AB,\qquad GE=\frac12\,AB.$$
Пусть $$O=FH\cap KM$$ и одновременно $$O=GE\cap KM.$$ Докажем, что $$O$$ — середина отрезков $$FH$$ и $$GE$$.
Рассмотрим треугольники $$FAO$$ и $$CAM.$$ У них
$$\angle AOF=\angle AMO,$$
так как точки $$O,F,H,M$$ лежат на одной прямой, а точки $$O,M,K$$ лежат на одной прямой, и
$$\angle AFO=\angle ACM,$$
поскольку $$FO \parallel CM$$ и $$AF \parallel AC$$.
Следовательно, $$\triangle FAO \sim \triangle CAM.$$ Отсюда
$$\frac{FA}{CA}=\frac{OA}{MA}=\frac{FO}{CM}.$$
Так как $$F$$ — середина $$KC,$$ то $$FA=\frac12\,CA$$, значит
$$\frac12=\frac{OA}{MA}=\frac{FO}{CM}.$$
Следовательно,
$$OA=MA,\qquad FO=\frac12\,CM.$$
Но $$M$$ — середина $$CD,$$ значит $$CM=MD$$, поэтому
$$MD=CM=2FO=2OH,$$
откуда $$OH=HM.$$ Значит, $$O$$ — середина $$FH$$.
Аналогично из равенства $$GE=\frac12\,AB$$ и того, что $$K$$ — середина $$AB$$, получаем, что $$O$$ — середина $$GE$$.
Итак, диагонали четырёхугольника $$EFGH$$ пересекаются и делятся пополам в точке $$O$$. Следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.
Ответ
Середины отрезков $$KC,$$ $$KD,$$ $$MA$$ и $$MB$$ являются вершинами параллелограмма.