Упр.611 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезки AB и CD не лежат в одной плоскости, точки M и N — середины этих отрезков. Докажите, что MN < | (AC + BD).

Обозначим радиус-векторы точек через соответствующие векторы. Так как $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, а $$N$$ — середина отрезка $$CD$$, то

$$\overrightarrow{NM}=\frac12\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}\right).$$

Далее

$$\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CA}, \qquad \overrightarrow{NB}=\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DB}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{NM}=\frac12\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DB}\right).$$

Так как $$N$$ — середина $$CD$$, то $$\overrightarrow{NC}=-\overrightarrow{ND}$$, значит

$$\overrightarrow{NM}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}\right).$$

Теперь найдём длину:

$$MN=\frac12\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}\right|.$$

Поскольку отрезки $$AB$$ и $$CD$$ не лежат в одной плоскости, то векторы $$\overrightarrow{CA}$$ и $$\overrightarrow{DB}$$ не коллинеарны. Поэтому по неравенству треугольника

$$\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}\right|<|\overrightarrow{CA}|+|\overrightarrow{DB}|=AC+BD.$$

Следовательно,

$$MN<\frac12(AC+BD).$$

Ответ

$$MN<\frac12(AC+BD).$$