Упр.611 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ не лежат в одной плоскости, точки $$M$$ и $$N$$ — середины этих отрезков. Докажите, что $$MN < |(AC + BD)$$.

Подробный ответ

Так как точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, а точка $$N$$ — середина отрезка $$CD$$, то

$$\overrightarrow{NM}=\frac12\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}\right).$$

Выразим векторы $$\overrightarrow{NA}$$ и $$\overrightarrow{NB}$$ через векторы с началом в точке $$N$$:

$$\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CA}, \qquad \overrightarrow{NB}=\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DB}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{NM}=\frac12\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DB}\right).$$

Так как $$N$$ — середина $$CD$$, то $$\overrightarrow{NC}=-\overrightarrow{ND}$$, значит

$$\overrightarrow{NM}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}\right).$$

Теперь воспользуемся неравенством треугольника для суммы векторов:

$$MN=\left|\overrightarrow{NM}\right|=\frac12\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}\right| \le \frac12\left(|CA|+|DB|\right).$$

Так как отрезки $$AB$$ и $$CD$$ не лежат в одной плоскости, то векторы $$\overrightarrow{CA}$$ и $$\overrightarrow{DB}$$ не коллинеарны, поэтому знак равенства невозможен. Следовательно,

$$MN<\frac12\left(AC+BD\right).$$

Ответ: $$MN<\dfrac12(AC+BD).$$