Упр.610 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: ТочкиА1( B1, C1 и M1 — основания перпендикуляров, проведенных к плоскости а из вершин треугольника ABC и из точки M пересечения медиан этого треугольника (рис.119). Докажите, что ММ1= — (АА1 + ВВ1+СС1). Останется 3 ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника ABC пересекаются с плоскостью а?

Обозначим через $$K$$ середину стороны $$AB$$. Тогда её проекция $$K_1$$ на плоскость $$\alpha$$ лежит на отрезке $$A_1B_1$$, причём из $$AK=KB$$ следует $$A_1K_1=K_1B_1$$. Значит, $$C_1K_1$$ — медиана треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Так как $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, то $$M\in CK$$. Следовательно, его проекция $$M_1$$ лежит на $$C_1K_1$$. Аналогично для двух других медиан получаем, что $$M_1$$ — точка пересечения медиан треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Теперь запишем вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$ через вершины треугольника:

$$ \overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1M_1}, $$
$$ \overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1M_1}, $$
$$ \overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{C_1M_1}. $$

Сложим эти равенства:

$$ 3\overrightarrow{MM_1} = (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{A_1M_1}+\overrightarrow{B_1M_1}+\overrightarrow{C_1M_1}) + (\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}). $$

Так как $$M$$ — центр тяжести треугольника $$ABC$$, то

$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}. $$

А так как $$M_1$$ — центр тяжести треугольника $$A_1B_1C_1$$, то

$$ \overrightarrow{A_1M_1}+\overrightarrow{B_1M_1}+\overrightarrow{C_1M_1}=\overrightarrow{0}. $$

Следовательно,

$$ 3\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}, $$
откуда

$$ \overrightarrow{MM_1}=\frac13\left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}\right). $$

Это и требовалось доказать.

Если некоторые стороны треугольника $$ABC$$ пересекают плоскость $$\alpha$$, то равенство вообще говоря не сохраняется: в этом случае векторы $$\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ могут быть направлены по-разному, и вывод через сумму векторов уже не даёт указанного равенства.

Ответ

$$ \overrightarrow{MM_1}=\frac13\left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}\right). $$
Если какие-то стороны $$\triangle ABC$$ пересекают плоскость $$\alpha$$, равенство не останется верным.