Упр.610 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ и $$M_1$$ — основания перпендикуляров, проведённых к плоскости $$\alpha$$ из вершин треугольника $$ABC$$ и из точки $$M$$ пересечения медиан этого треугольника (рис. 119). Докажите, что $$MM_1=\frac{1}{3}(AA_1+BB_1+CC_1)$$. Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника $$ABC$$ пересекаются с плоскостью $$\alpha$$?

Подробный ответ

Пусть $$K$$ — середина стороны $$AB$$, а $$K_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$K$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда, так как $$AK=KB$$, проекции отрезков $$AK$$ и $$KB$$ на плоскость $$\alpha$$ равны, значит $$A_1K_1=K_1B_1$$. Следовательно, $$K_1$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$, то есть $$C_1K_1$$ — медиана треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Аналогично, если рассмотреть другие медианы треугольника $$ABC$$, то их проекции на плоскость $$\alpha$$ также будут медианами треугольника $$A_1B_1C_1$$. Поэтому точка $$M_1$$ — проекция точки пересечения медиан $$M$$ — является точкой пересечения медиан треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Теперь запишем:

$$\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1M_1},$$

$$\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1M_1},$$

$$\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{C_1M_1}.$$

Сложим эти равенства:

$$3\overrightarrow{MM_1}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)+\left(\overrightarrow{A_1M_1}+\overrightarrow{B_1M_1}+\overrightarrow{C_1M_1}\right)+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}.$$

Так как $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, то

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$$

А так как $$M_1$$ — точка пересечения медиан треугольника $$A_1B_1C_1$$, то

$$\overrightarrow{A_1M_1}+\overrightarrow{B_1M_1}+\overrightarrow{C_1M_1}=\overrightarrow{0}.$$

Значит,

$$3\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1},$$

откуда

$$\overrightarrow{MM_1}=\frac13\left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}\right).$$

Если какие-то стороны треугольника $$ABC$$ пересекают плоскость $$\alpha$$, то некоторые из векторов $$\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ могут быть направлены противоположно, и приведённое равенство вообще говоря нарушается. Следовательно, в этом случае оно не остаётся верным.

Ответ: $$\overrightarrow{MM_1}=\frac13\left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}\right)$$; при пересечении сторон треугольника с плоскостью $$\alpha$$ равенство, вообще говоря, не сохраняется.