Упр.61 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку A проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и притом только одна.

Подробный ответ

Обозначим через $$\alpha$$ плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$. Такая плоскость существует и единственна, так как через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

По теореме через точку $$A$$, не лежащую в плоскости $$\alpha$$, можно провести единственную плоскость $$\beta$$, параллельную плоскости $$\alpha$$.

Так как $$a \subset \alpha$$ и $$b \subset \alpha$$, а плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то каждая прямая, лежащая в плоскости $$\alpha$$, параллельна плоскости $$\beta$$. Значит,

$$a \parallel \beta,\qquad b \parallel \beta.$$

Плоскость $$\beta$$ проходит через точку $$A$$ и параллельна прямым $$a$$ и $$b$$.

Осталось показать единственность. Если бы через точку $$A$$ проходила другая плоскость, параллельная и $$a$$, и $$b$$, то она была бы параллельна плоскости $$\alpha$$, поскольку содержит две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым плоскости $$\alpha$$. Но через точку $$A$$ существует только одна плоскость, параллельная плоскости $$\alpha$$. Следовательно, такая плоскость единственна.