Упр.608 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $$ABCD$$ медианы грани $$BCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что длина отрезка $$AO$$ меньше одной трети суммы длин рёбер с общей вершиной $$A$$.

Подробный ответ

Так как точка $$O$$ — точка пересечения медиан грани $$BCD$$, то по свойству центра тяжести треугольника для любой точки $$A$$ пространства выполняется

$$\overrightarrow{AO}=\frac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right).$$

Тогда

$$AO=\left|\overrightarrow{AO}\right| =\frac13\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|.$$

По неравенству треугольника для векторов имеем

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right| \le |\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{AD}|.$$

Следовательно,

$$AO\le \frac13(AB+AC+AD).$$

Так как в тетраэдре точки $$B,C,D$$ не лежат на одной прямой, то равенство здесь невозможно, и потому

$$AO<\frac13(AB+AC+AD).$$

Что и требовалось доказать.