Упр.607 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Высоты $$AM$$ и $$DN$$ правильного тетраэдра $$ABCD$$ пересекаются в точке $$K$$. Разложите по векторам $$\vec a=\overrightarrow{DA}$$, $$\vec b=\overrightarrow{DB}$$, $$\vec c=\overrightarrow{DC}$$ векторы: а) $$\overrightarrow{DN}$$; б) $$\overrightarrow{DK}$$; в) $$\overrightarrow{AM}$$; г) $$\overrightarrow{MK}$$.

Так как тетраэдр $$ABCD$$ правильный, то каждая его грань — равносторонний треугольник. Поэтому высоты $$AM$$ и $$DN$$ являются одновременно медианами. Точка $$K$$ — точка их пересечения.

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{DA},\ \vec b=\overrightarrow{DB},\ \vec c=\overrightarrow{DC}$$.

Для точки $$N$$, как середины стороны $$BC$$, имеем

$$\overrightarrow{DN}=\frac{\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}}{2}=\frac{\vec b+\vec c}{2}.$$

Но в правильном треугольнике медиана делит высоту в отношении $$2:1$$, считая от вершины, значит

$$\overrightarrow{DK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DN}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\vec b+\vec c}{2}=\frac{\vec b+\vec c}{3}.$$

Теперь найдём $$\overrightarrow{AM}$$. Точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$, поэтому

$$\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}}{2}=\frac{\vec b+\vec c}{2}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DA}=\frac{\vec b+\vec c}{2}-\vec a.$$

Так как точки $$A, K, M$$ лежат на одной медиане, а $$K$$ делит её в отношении $$2:1$$, то

$$\overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MK}=-\frac{1}{3}\left(\frac{\vec b+\vec c}{2}-\vec a\right)=\frac{1}{3}\vec a-\frac{1}{6}\vec b-\frac{1}{6}\vec c.$$

Ответ:

а) $$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c$$;

б) $$\overrightarrow{DK}=\frac{1}{3}\vec b+\frac{1}{3}\vec c$$;

в) $$\overrightarrow{AM}=-\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c$$;

г) $$\overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\vec a-\frac{1}{6}\vec b-\frac{1}{6}\vec c$$.