Упр.607 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите по векторам а = DA, b = DB, с = DC вектор: а) DN; б) DK; в) AM; г) MK.

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{DA},\quad \vec b=\overrightarrow{DB},\quad \vec c=\overrightarrow{DC}.$$

В правильном тетраэдре все грани — равносторонние треугольники, поэтому высоты являются одновременно медианами. Следовательно, точки $$N$$ и $$M$$ — середины соответствующих сторон, а точка $$K$$ — точка пересечения медиан $$DN$$ и $$AM$$.

а) В треугольнике $$ABC$$ точка $$N$$ — середина стороны $$BC$$, значит, для радиус-вектора точки $$N$$ из вершины $$D$$ получаем

$$\overrightarrow{DN}=\frac{\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}}{3}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}.$$

б) Точка $$K$$ делит медиану $$DN$$ в отношении $$DK:KN=2:1$$, поэтому

$$\overrightarrow{DK}=\frac{3}{4}\,\overrightarrow{DN}=\frac{3}{4}\cdot \frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4}.$$

в) Для медианы $$AM$$ аналогично:

$$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}.$$

Так как

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}=\vec b-\vec a,\quad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\vec c-\vec a,\quad \overrightarrow{AD}=-\vec a,$$

то

$$\overrightarrow{AM}=\frac{(\vec b-\vec a)+(\vec c-\vec a)-\vec a}{3}=-\vec a+\frac{\vec b+\vec c}{3}.$$

г) Так как $$K$$ — точка пересечения медиан, то на медиане $$AM$$ имеем $$AK:KM=2:1$$, следовательно

$$\overrightarrow{MK}=\frac{1}{4}\,\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{4}\,\overrightarrow{AM}.$$

Подставляя найденное выражение для $$\overrightarrow{AM}$$, получаем

$$\overrightarrow{MK}=-\frac{1}{4}\left(-\vec a+\frac{\vec b+\vec c}{3}\right)=\frac{1}{4}\vec a-\frac{1}{12}\vec b-\frac{1}{12}\vec c.$$

Ответ

$$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{3}\vec a+\frac{1}{3}\vec b+\frac{1}{3}\vec c,$$

$$\overrightarrow{DK}=\frac{1}{4}\vec a+\frac{1}{4}\vec b+\frac{1}{4}\vec c,$$

$$\overrightarrow{AM}=-\vec a+\frac{1}{3}\vec b+\frac{1}{3}\vec c,$$

$$\overrightarrow{MK}=\frac{1}{4}\vec a-\frac{1}{12}\vec b-\frac{1}{12}\vec c.$$