Упр.606 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Медианы грани ABC тетраэдра OABC пересекаются в точке М. Разложите вектор OA по векторам OB, ОС, ОМ.

Пусть $$K$$ — середина ребра $$AB$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$CK$$ — медиана, а точка $$M$$ — точка пересечения медиан, значит $$M$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$C$$.

Из того, что $$K$$ — середина $$AB$$, получаем:

$$ \overrightarrow{OK}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right). $$

Так как $$M$$ — центр тяжести треугольника $$ABC$$, то его радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин:

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right). $$

Отсюда выразим $$\overrightarrow{OA}$$:

$$ 3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}, $$

$$ \overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}. $$

Ответ

$$\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}.$$