Упр.605 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точки $$M$$ и $$N$$ являются серединами рёбер $$AB$$ и $$A_1D_1$$ параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Разложите, если это возможно, по векторам $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ вектор:

1. $$\overrightarrow{AC}$$;
2. $$\overrightarrow{CM}$$;
3. $$\overrightarrow{C_1N}$$;
4. $$\overrightarrow{AC_1}$$;
5. $$\overrightarrow{A^N}$$;
6. $$\overrightarrow{A\#}$$;
7. $$\overrightarrow{MD}$$.

Обозначим через $$\vec{AB}=\mathbf{b},\qquad \vec{AD}=\mathbf{d}.$$ Тогда в основании параллелепипеда $$\vec{AC}=\mathbf{b}+\mathbf{d}.$$

Так как $$M$$ — середина ребра $$AB,$$ то

$$\vec{AM}=\frac12\vec{AB}=\frac12\mathbf{b}.$$

Так как $$N$$ — середина ребра $$A_1D_1,$$ а $$\vec{A_1D_1}=\vec{AD}=\mathbf{d},$$ то

$$\vec{A_1N}=\frac12\vec{A_1D_1}=\frac12\mathbf{d}.$$

Теперь найдём требуемые векторы.

а) $$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}.$$

б)
$$\vec{CM}=\vec{CA}+\vec{AM}=-(\vec{AB}+\vec{AD})+\frac12\vec{AB} =-\frac12\vec{AB}-\vec{AD}.$$

в) Введём точку $$E$$ — середину ребра $$AD.$$ Тогда в параллелограмме $$A_1D_1DE$$ имеем $$\vec{C_1N}=\vec{CE}.$$ Поэтому

$$\vec{CE}=\vec{CD}+\vec{DE}=-\vec{AB}+\frac12\vec{AD},$$

значит

$$\vec{C_1N}=-\vec{AB}+\frac12\vec{AD}.$$

г) $$\vec{AC_1}$$ нельзя разложить по векторам $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD},$$ так как он не лежит в плоскости $$ABD$$.

д)
$$\vec{A_1N}=\vec{AE}=\frac12\vec{AD}.$$

е) $$\vec{AN}$$ нельзя разложить по векторам $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD},$$ так как он не лежит в плоскости $$ABD$$.

ж)
$$\vec{AM}+\vec{MD}=\vec{AD},$$
откуда
$$\vec{MD}=\vec{AD}-\vec{AM}=\vec{AD}-\frac12\vec{AB}.$$

Ответ

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD},\qquad \vec{CM}=-\frac12\vec{AB}-\vec{AD},\qquad \vec{C_1N}=-\vec{AB}+\frac12\vec{AD},$$
$$\vec{A_1N}=\frac12\vec{AD},\qquad \vec{MD}=-\frac12\vec{AB}+\vec{AD}.$$
Векторы $$\vec{AC_1}$$ и $$\vec{AN}$$ разложить по векторам $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$ нельзя.