Упр.605 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки M и N являются серединами ребер AB и A1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Разложите, если это возможно, по векторам AB и AD вектор: а) AC; б) CM; в) C1N; г) AC1; д) A^N; e) A#; ж) MD.

Подробный ответ

Обозначим через $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$ два ребра основания параллелепипеда. Тогда в параллелограмме $$ABCD$$ имеем

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}.$$

Так как $$M$$ — середина ребра $$AB$$, то

$$\vec{AM}=\frac12\vec{AB}.$$

Тогда

$$\vec{CM}=\vec{CA}+\vec{AM}=-(\vec{AB}+\vec{AD})+\frac12\vec{AB}=-\frac12\vec{AB}-\vec{AD}.$$

Точка $$N$$ — середина ребра $$A_1D_1$$. В основании и верхнем основании соответствующие ребра параллельны и равны, поэтому вектор $$\vec{C_1N}$$ можно выразить через векторы основания так же, как вектор от точки $$C_1$$ к середине соответствующего ребра:

$$\vec{C_1N}=-\vec{AB}-\frac12\vec{AD}.$$

Для диагонали пространственного параллелепипеда

$$\vec{AC_1}=\vec{AC}+\vec{CC_1}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA_1}.$$

Векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$ лежат в плоскости основания, а $$\vec{AC_1}$$ не лежит в этой плоскости, поэтому разложить $$\vec{AC_1}$$ только по векторам $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$ нельзя.

Так как $$A_1N$$ — вектор от точки $$A_1$$ к середине ребра $$A_1D_1$$, то он направлен вдоль ребра $$A_1D_1$$ и равен половине этого ребра:

$$\vec{A_1N}=\frac12\vec{A_1D_1}=\frac12\vec{AD}.$$

Вектор $$\vec{AN}$$ не лежит в плоскости $$ABD$$, поэтому через $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$ его разложить нельзя.

Наконец, для точки $$M$$:

$$\vec{AM}+\vec{MD}=\vec{AD},$$

откуда

$$\vec{MD}=\vec{AD}-\vec{AM}=\vec{AD}-\frac12\vec{AB}.$$