Упр.604 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD медиана AA1 грани ABC делится точкой K так, что AK : KA1 = 3 : 7. Разложите вектор DK по векторам DA, DB, DC.

Подробный ответ

Так как $$AK:KA_1=3:7,$$ то можно положить

$$\overrightarrow{AK}=n\overrightarrow{KA_1}, \qquad n=\frac{3}{7}.$$

Из соотношения векторов на отрезке $$AA_1$$ получаем

$$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{DK}.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KA_1}=\overrightarrow{DA_1},$$

значит

$$\overrightarrow{DK}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AK}=n\overrightarrow{KA_1}=n\left(\overrightarrow{DA_1}-\overrightarrow{DK}\right).$$

Отсюда

$$\overrightarrow{DK}(1+n)=\overrightarrow{DA}+n\overrightarrow{DA_1},$$

то есть

$$\overrightarrow{DK}=\frac{\overrightarrow{DA}+n\overrightarrow{DA_1}}{1+n}.$$

Так как $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$, то

$$\overrightarrow{DA_1}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Подставим $$n=\frac{3}{7}$$:

$$ \overrightarrow{DK} =\frac{\overrightarrow{DA}+\frac{3}{7}\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right)}{1+\frac{3}{7}} =\frac{14\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}+3\overrightarrow{DC}}{14}. $$

Следовательно,

$$ \overrightarrow{DK} =\overrightarrow{DA}+\frac{3}{14}\overrightarrow{DB}+\frac{3}{14}\overrightarrow{DC}. $$