Упр.602 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Вне плоскости параллелограмма $$ABCD$$ взята точка $$O$$. Точка $$M$$ — середина $$AB$$, а точка $$K$$ — середина $$MD$$. Разложите векторы $$\overrightarrow{OM}$$ и $$\overrightarrow{OK}$$ по векторам $$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$$, $$\vec{b}=\overrightarrow{OB}$$, $$\vec{c}=\overrightarrow{OC}$$.

Подробный ответ

Так как $$M$$ — середина $$AB$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{AB}.$$

Но $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}= \mathbf b-\mathbf a$$, значит

$$\overrightarrow{OM}=\mathbf a+\frac12(\mathbf b-\mathbf a)=\frac12\mathbf a+\frac12\mathbf b.$$

Теперь найдём $$\overrightarrow{OK}$$. Так как $$K$$ — середина $$MD$$, то

$$\overrightarrow{MK}=\frac12\overrightarrow{MD},$$

следовательно,

$$\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{OM}+\frac12\overrightarrow{MD}.$$

Найдём $$\overrightarrow{MD}$$:

$$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf b$$, а также $$\overrightarrow{AM}=\frac12(\mathbf b-\mathbf a)$$. Тогда

$$\overrightarrow{MD}=-\frac12(\mathbf b-\mathbf a)+(\mathbf c-\mathbf b)=\frac12\mathbf a-\frac32\mathbf b+\mathbf c.$$

Подставим в формулу для $$\overrightarrow{OK}$$:

$$\overrightarrow{OK} =\frac12\mathbf a+\frac12\mathbf b+\frac12\left(\frac12\mathbf a-\frac32\mathbf b+\mathbf c\right) =\frac34\mathbf a-\frac14\mathbf b+\frac12\mathbf c.$$

Ответ: $$\overrightarrow{OM}=\frac12\mathbf a+\frac12\mathbf b,\quad \overrightarrow{OK}=\frac34\mathbf a-\frac14\mathbf b+\frac12\mathbf c.$$