Упр.601 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка $$K$$ — середина ребра $$B_1C_1$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Разложите вектор $$AK$$ по векторам $$\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}$$, $$\mathbf{b}=\overrightarrow{AD}$$, $$\mathbf{c}=\overrightarrow{AA_1}$$ и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно $$t$$.
Обозначим ребро куба через $$m$$. Тогда
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec a+\vec b.$$
Так как $$K$$ — середина ребра $$B_1C_1$$, то
$$\overrightarrow{C_1K}=\frac12\overrightarrow{C_1B_1}=-\frac12\overrightarrow{AD}=-\frac12\vec b,$$
а также $$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1}=\vec c.$$
Тогда
$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{C_1K}=\vec a+\vec b+\vec c-\frac12\vec b=\vec a+\frac12\vec b+\vec c.$$
Найдём длину вектора $$\overrightarrow{AK}$$. В прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$ имеем $$AA_1=m$$, а
$$A_1K=\sqrt{m^2+\left(\frac12m\right)^2}=\sqrt{\frac54m^2}=\frac{\sqrt5}{2}m.$$
Тогда
$$AK=\sqrt{AA_1^2+A_1K^2}=\sqrt{m^2+\frac54m^2}=\sqrt{\frac94m^2}=\frac32m.$$
Ответ: $$\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b+\vec c,\qquad |\overrightarrow{AK}|=\frac32m.$$
