Упр.600 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды с вершиной O является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите векторы OD и OM по векторам а = OA, b — OB и с = ОС.

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{OA},\quad \vec b=\overrightarrow{OB},\quad \vec c=\overrightarrow{OC}.$$ Нужно выразить $$\overrightarrow{OD}$$ и $$\overrightarrow{OM}$$ через $$\vec a,\ \vec b,\ \vec c.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали пересекаются и делятся пополам.

Найдём сначала $$\overrightarrow{OD}$$. Имеем

$$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DB},$$

откуда

$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{DB}=\vec b-\overrightarrow{DB}.$$

В параллелограмме

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}.$$

Но удобнее выразить $$\overrightarrow{DB}$$ через векторы $$\vec a,\vec b,\vec c$$:

$$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}.$$

Так как $$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\vec b-\vec c,$$ а также

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec b-\vec a,$$

то

$$\overrightarrow{DB}=(\vec b-\vec a)+(\vec b-\vec c)=2\vec b-\vec a-\vec c.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OD}=\vec b-(2\vec b-\vec a-\vec c)=\vec a-\vec b+\vec c.$$

Теперь найдём $$\overrightarrow{OM}$$. Точка $$M$$ — середина диагоналей параллелограмма, значит, $$M$$ — середина отрезка $$AC$$. Тогда

$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)=\frac{1}{2}(\vec a+\vec c).$$

То есть

$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\vec a+0\cdot\vec b+\frac{1}{2}\vec c.$$

Ответ

$$\overrightarrow{OD}=\vec a-\vec b+\vec c,\qquad \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\vec a+0\cdot\vec b+\frac{1}{2}\vec c.$$