Упр.600 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием пирамиды с вершиной $$O$$ является параллелограмм $$ABCD$$, диагонали которого пересекаются в точке $$M$$. Разложите векторы $$\overrightarrow{OD}$$ и $$\overrightarrow{OM}$$ по векторам $$\vec a=\overrightarrow{OA}$$, $$\vec b=\overrightarrow{OB}$$ и $$\vec c=\overrightarrow{OC}$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали пересекаются и делятся пополам. Поэтому точка $$M$$ — середина диагонали $$AC$$.

Выразим вектор $$\overrightarrow{OD}$$ через данные векторы:

$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD}$$

Найдём $$\overrightarrow{BD}$$:

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$$

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$$, а также

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}= \vec c-\vec b, \qquad \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}= \vec a-\vec b.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BD}=(\vec c-\vec b)+(\vec a-\vec b)=\vec a+\vec c-2\vec b.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OD}=\vec b+(\vec a+\vec c-2\vec b)=\vec a-\vec b+\vec c.$$

Теперь найдём $$\overrightarrow{OM}$$. Так как $$M$$ — середина диагонали $$AC$$, то

$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right) =\frac{1}{2}(\vec a+\vec c).$$

Итак,

$$\overrightarrow{OD}=\vec a-\vec b+\vec c,\qquad \overrightarrow{OM}=\frac12\vec a+0\cdot\vec b+\frac12\vec c.$$

Ответ: $$\overrightarrow{OD}=\vec a-\vec b+\vec c,\quad \overrightarrow{OM}=\frac12\vec a+0\cdot\vec b+\frac12\vec c.$$