Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$BM$$ и $$CN$$, точка $$O$$ — центр вписанной в треугольник окружности. Известно, что $$BC=24$$, $$MN=12$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$BOC$$.
Так как точки $$M$$ и $$N$$ — основания высот, то $$\angle AMC=\angle ANC=90^\circ$$. Следовательно, точки $$A, M, N, C$$ лежат на одной окружности.
Из подобия прямоугольных треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle AMN$$ получаем:
$$\frac{MN}{BC}=\frac{12}{24}=\frac12,$$
значит, $$\frac{AM}{AB}=\frac12$$ и $$\cos \angle BAM=\frac{AM}{AB}=\frac12$$. Отсюда возможны два случая:
$$\angle BAM=60^\circ \quad \text{или} \quad \angle BAM=120^\circ.$$
Поскольку $$\angle BAC=\angle BAM$$, имеем для центра вписанной окружности:
$$\angle BOC=90^\circ+\frac12\angle BAC.$$
Тогда
$$\angle BOC=90^\circ+\frac12\cdot 60^\circ=120^\circ,$$
или
$$\angle BOC=90^\circ+\frac12\cdot 120^\circ=150^\circ.$$
Радиус окружности, описанной около треугольника $$BOC$$, найдём по формуле
$$2R=\frac{BC}{\sin \angle BOC}.$$
Если $$\angle BOC=120^\circ$$, то
$$2R=\frac{24}{\sin 120^\circ}=\frac{24}{\frac{\sqrt3}{2}}=16\sqrt3,$$
откуда
$$R=8\sqrt3.$$
Если $$\angle BOC=150^\circ$$, то
$$2R=\frac{24}{\sin 150^\circ}=\frac{24}{\frac12}=48,$$
откуда
$$R=24.$$
Ответ: $$24$$ или $$8\sqrt3$$.
