Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите косинус угла между прямыми $$AB_1$$ и $$BC_1$$.
Обозначим через $$C_2$$ точку на продолжении ребра $$CC_1$$ так, что $$CC_2=CC_1=1$$. Тогда $$B_1C_2 \parallel BC_1$$, значит искомый угол между прямыми $$AB_1$$ и $$BC_1$$ равен углу $$\angle AB_1C_2$$.
Найдём длины сторон треугольника $$AB_1C_2$$.
В прямоугольном треугольнике $$ACC_2$$:
$$AC_2=\sqrt{AC^2+CC_2^2}.$$
Так как основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $$1$$, то $$AC=1$$, а $$CC_2=1$$. Следовательно,
$$AC_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$:
$$AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$$
Кроме того, $$B_1C_2=BC_1=AB_1=\sqrt{2}$$.
Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $$AB_1C_2$$:
$$AC_2^2=AB_1^2+B_1C_2^2-2\cdot AB_1\cdot B_1C_2\cos \angle AB_1C_2.$$
Подставим найденные значения:
$$2=2+2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cos \angle AB_1C_2,$$
$$2=4-4\cos \angle AB_1C_2,$$
$$\cos \angle AB_1C_2=\frac{1}{2}.$$
Следовательно,
ответ: $$\frac{1}{2}$$.
