Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В треугольнике АВС угол С прямой, высота СН равна 7. Найдите cos(A), если ВН=24.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Высота $$CH$$ опущена на гипотенузу $$AB$$.

Для высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике верно:

$$CH^2=AH\cdot BH.$$

Так как $$CH=7$$ и $$BH=24$$, найдём $$AH$$:

$$AH=\frac{CH^2}{BH}=\frac{49}{24}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. В нём

$$\tg A=\frac{CH}{AH}=\frac{7}{49/24}=\frac{24}{7}.$$

Тогда

$$\cos A=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 A}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{24}{7}\right)^2}}.$$

Вычислим:

$$\cos A=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{576}{49}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{625}{49}}}=\frac{7}{25}.$$

Ответ

$$\frac{7}{25}$$