Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB_1 и BC_1.

Обозначим через $$C_2$$ точку на продолжении ребра $$CC_1$$ так, что $$C_1C_2=CC_1$$. Тогда $$CC_2=2$$, а прямая $$B_1C_2$$ параллельна прямой $$BC_1$$, поэтому искомый угол между прямыми $$AB_1$$ и $$BC_1$$ равен углу $$\angle AB_1C_2$$.

Найдём необходимые длины.

В прямоугольном треугольнике $$ACC_2$$:

$$AC_2=\sqrt{AC^2+CC_2^2}.$$

Так как основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $$1$$, то $$AC=1$$. Следовательно,

$$AC_2=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$:

$$AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$$

Кроме того, $$B_1C_2=AB_1=\sqrt{2}$$, так как соответствующие отрезки равны в правильной призме.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $$AB_1C_2$$:

$$AC_2^2=AB_1^2+B_1C_2^2-2\cdot AB_1\cdot B_1C_2\cos\angle AB_1C_2.$$

Подставим значения:

$$5=2+2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cos\angle AB_1C_2,$$

$$5=4-4\cos\angle AB_1C_2,$$

$$\cos\angle AB_1C_2=-\frac14.$$

Так как требуется косинус угла между прямыми $$AB_1$$ и $$BC_1$$, берём острый угол между этими прямыми, поэтому

$$\cos\varphi=\frac14.$$

Ответ

$$0{,}25$$