Упр.599 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка \(K\) — середина ребра \(BC\) тетраэдра \(ABCD\). Разложите вектор $$\overrightarrow{DK}$$ по векторам $$\vec{a}=\overrightarrow{DA}$$, $$\vec{b}=\overrightarrow{AB}$$ и $$\vec{c}=\overrightarrow{AC}$$.

Так как $$BK=KC,$$ то точка $$K$$ — середина отрезка $$BC.$$ Тогда

$$\overrightarrow{DK}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Выразим векторы $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ через данные векторы $$\vec a=\overrightarrow{DA},\ \vec b=\overrightarrow{AB},\ \vec c=\overrightarrow{AC}.$$

Имеем:

$$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\vec a+\vec b,$$

$$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec c.$$

Тогда

$$\overrightarrow{DK} =\frac{1}{2}\bigl((\vec a+\vec b)+(\vec a+\vec c)\bigr) =\frac{1}{2}(2\vec a+\vec b+\vec c) =\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c.$$

Ответ: $$\overrightarrow{DK}=\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c.$$