Упр.598 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагонали параллелепипеда ABCDArBrCiDi пересекаются в точке О. Разложите векторы CD и DrO по векторам AAr, AB и AD.

Подробный ответ

Обозначим в параллелепипеде $$\overrightarrow{AA_1}=\vec a,$$ $$\overrightarrow{AB}=\vec b,$$ $$\overrightarrow{AD}=\vec c.$$ Тогда

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}=\vec b?$$

Но так как в параллелепипеде противоположные рёбра равны и параллельны, то

$$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{CD}=0\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+0\cdot \overrightarrow{AA_1}.$$

Найдём теперь $$\overrightarrow{D_1O}.$$ Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит $$O$$ — середина пространственной диагонали $$BD_1$$. Поэтому

$$\overrightarrow{D_1O}=\frac12\,\overrightarrow{D_1B}.$$

Вектор $$\overrightarrow{D_1B}$$ разложим через заданные векторы:

$$\overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD},$$

а также

$$\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{D_1B}=\overrightarrow{AB}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{D_1B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AD}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{D_1O}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AD}\right).$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{D_1O}=-\frac12\,\overrightarrow{AD}+\frac12\,\overrightarrow{AB}-\frac12\,\overrightarrow{AA_1}.$$