Упр.598 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагонали параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Разложите векторы $$\overrightarrow{CD}$$ и $$\overrightarrow{D_1O}$$ по векторам $$\overrightarrow{AA_1}$$, $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$.

Подробный ответ

Так как $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то противоположные рёбра параллельны и равны, значит

$$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}.$$

Следовательно, разложение вектора $$\overrightarrow{CD}$$ по векторам $$\overrightarrow{AA_1}$$, $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ имеет вид

$$\overrightarrow{CD}=0\cdot \overrightarrow{AA_1}-1\cdot \overrightarrow{AB}+0\cdot \overrightarrow{AD}.$$

Найдём теперь $$\overrightarrow{D_1O}$$.

По правилу параллелограмма

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD_1}.$$

Диагонали параллелограмма $$AB D_1D$$ пересекаются и делятся пополам, поэтому

$$\overrightarrow{D_1B}=2\overrightarrow{D_1O}.$$

С другой стороны, в параллелограмме $$AB D_1D$$ имеем

$$\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{D_1B}=\overrightarrow{AB}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AD_1}+2\overrightarrow{D_1O}=\overrightarrow{AB},$$

откуда

$$2\overrightarrow{D_1O}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD_1}.$$

Подставим $$\overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}$$:

$$\overrightarrow{D_1O}=\frac12\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AA_1}-\frac12\overrightarrow{AD}.$$

Ответ: $$\overrightarrow{CD}=0\cdot \overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AB}+0\cdot \overrightarrow{AD},\qquad \overrightarrow{D_1O}=\frac12\overrightarrow{AB}-\frac12\overrightarrow{AA_1}-\frac12\overrightarrow{AD}.$$