Упр.597 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В вершинах $$A_1$$, $$B_1$$ и $$D_1$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, ребро которого равно $$a$$, помещены точечные заряды $$q$$.
   
   а) Выразите результирующую напряжённость создаваемого ими электрического поля в точках $$A$$ и $$C_1$$ через вектор $$\overrightarrow{AC_1}$$.
   
   б) Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости в точках $$C$$, $$B_1$$, в центре грани $$A_1B_1C_1D_1$$ и в центре куба.

Обозначим через $$\vec E$$ результирующую напряжённость поля, создаваемого тремя одинаковыми зарядами $$q$$, помещёнными в вершинах $$A_1$$, $$B$$ и $$D$$ куба со стороной $$a$$.

а)

В точке $$A$$:

$$\vec E=\frac{kq}{A_1A^3}\overrightarrow{A_1A}+\frac{kq}{BA^3}\overrightarrow{BA}+\frac{kq}{DA^3}\overrightarrow{DA} =\frac{kq}{a^3}\left(\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}\right).$$

Так как

$$\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AC_1},$$

то

$$\vec E=-\frac{kq}{a^3}\overrightarrow{AC_1}.$$

В точке $$C_1$$:

$$\vec E=\frac{kq}{A_1C_1^3}\overrightarrow{A_1C_1}+\frac{kq}{BC_1^3}\overrightarrow{BC_1}+\frac{kq}{DC_1^3}\overrightarrow{DC_1}.$$

Так как $$A_1C_1=BC_1=DC_1=a\sqrt2$$, то

$$\vec E=\frac{kq}{2\sqrt2\,a^3}\left(\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{DC_1}\right).$$

По правилу параллелограмма

$$\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{DC_1}=2\overrightarrow{AC_1},$$

следовательно,

$$\vec E=\frac{\sqrt2\,kq}{2a^3}\overrightarrow{AC_1}.$$

б)

В точке $$C$$:

$$\vec E=\frac{kq}{A_1C^3}\overrightarrow{A_1C}+\frac{kq}{BC^3}\overrightarrow{BC}+\frac{kq}{DC^3}\overrightarrow{DC}.$$

Здесь

$$A_1C=\sqrt{A_1A^2+AC^2}=\sqrt{a^2+a^2\cdot 2}=a\sqrt3.$$

После приведения к общему виду получаем

$$|\vec E|=\frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt3}.$$

В точке $$B_1$$ аналогично:

$$|\vec E|=\frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt3}.$$

В центре грани $$A_1B_1C_1D_1$$:

$$|\vec E|=\frac{2kq}{9a^2}\sqrt{105}.$$

В центре куба:

$$|\vec E|=\frac{4kq}{3a^2}.$$

Ответ

$$\vec E_A=-\frac{kq}{a^3}\overrightarrow{AC_1},\qquad \vec E_{C_1}=\frac{\sqrt2\,kq}{2a^3}\overrightarrow{AC_1};$$

$$|\vec E_C|=|\vec E_{B_1}|=\frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt3},\qquad |\vec E_{\text{центр грани}}|=\frac{2kq}{9a^2}\sqrt{105},\qquad |\vec E_{\text{центр куба}}|=\frac{4kq}{3a^2}.$$