Упр.597 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B вершинах А,, B и D KyQaABCDAlBiCrDl, ребро которого равно а, помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую напряженность* создаваемого ими электрического поля в точках A и C1 через вектор ACi. б) Найдите абсолютную величину результирующей напряженности в точках С, Br, в центре грани AiBrClDr и в центре куба.

Пусть в вершинах $$A_1$$, $$B$$ и $$D$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$a$$ находятся одинаковые заряды $$q$$. Напряжённость поля от точечного заряда равна

$$\vec E=\frac{kq}{r^3}\vec r,$$

где $$\vec r$$ — радиус-вектор от заряда к рассматриваемой точке.

а) Точка $$A$$.

Складываем напряжённости от трёх зарядов:

$$ \vec E_A=\frac{kq}{a^3}\left(\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}\right). $$

Так как

$$ \overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA} =-(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}) =-\overrightarrow{AC_1}, $$

то

$$ \vec E_A=-\frac{kq}{a^3}\overrightarrow{AC_1}. $$

Точка $$C_1$$.

Здесь

$$ \vec E_{C_1}=\frac{kq}{A_1C_1^3}\overrightarrow{A_1C_1} +\frac{kq}{BC_1^3}\overrightarrow{BC_1} +\frac{kq}{DC_1^3}\overrightarrow{DC_1}. $$

Так как $$A_1C_1=BC_1=DC_1=a\sqrt2$$, то

$$ \vec E_{C_1}=\frac{kq}{2\sqrt2\,a^3} \left(\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{DC_1}\right). $$

Сумма этих векторов равна $$2\overrightarrow{AC_1}$$, поэтому

$$ \vec E_{C_1}=\frac{\sqrt2\,kq}{2a^3}\overrightarrow{AC_1}. $$

б) Модули напряжённости.

Точка $$C$$.

$$ \vec E_C=\frac{kq}{A_1C^3}\overrightarrow{A_1C} +\frac{kq}{BC^3}\overrightarrow{BC} +\frac{kq}{DC^3}\overrightarrow{DC}. $$

Здесь $$A_1C=a\sqrt3$$, поэтому после приведения к общему множителю получаем

$$ |\vec E_C|=\frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt3}. $$

Точка $$B_1$$.

Аналогично, так как расстояния от $$B_1$$ до зарядов $$A_1$$, $$B$$ и $$D$$ такие же, как в предыдущем случае, то

$$ |\vec E_{B_1}|=\frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt3}. $$

Центр грани $$A_1B_1C_1D_1$$.

Обозначим его через $$O_1$$. Тогда

$$ \vec E_{O_1}=\frac{kq}{A_1O_1^3}\overrightarrow{A_1O_1} +\frac{kq}{BO_1^3}\overrightarrow{BO_1} +\frac{kq}{DO_1^3}\overrightarrow{DO_1}. $$

После сложения векторов и учёта симметрии получаем

$$ |\vec E_{O_1}|=\frac{2kq}{9a^2}\sqrt{105}. $$

Центр куба.

Обозначим центр куба через $$O$$. По симметрии

$$ |\vec E_O|=\frac{4kq}{3a^2}. $$

Ответ

а) $$\vec E_A=-\dfrac{kq}{a^3}\overrightarrow{AC_1},\qquad \vec E_{C_1}=\dfrac{\sqrt2\,kq}{2a^3}\overrightarrow{AC_1}$$;

б) $$|\vec E_C|=|\vec E_{B_1}|=\dfrac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt3},\quad |\vec E_{O_1}|=\dfrac{2kq}{9a^2}\sqrt{105},\quad |\vec E_O|=\dfrac{4kq}{3a^2}.$$