Упр.595 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
а) $$AB+AD+AA_1$$;
б) $$DA+DC+DD_1$$;
в) $$A_1B_1+C_1B_1+BB_1$$;
г) $$A_1A+A_1D_1+AB$$;
д) $$B_1A_1+BB_1+BC$$.
Используем правило сложения векторов в параллелепипеде: равные и параллельные рёбра можно заменять друг другом.
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$$
Тогда
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1}.$$
$$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$$
Следовательно,
$$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{DB_1}.$$
Так как $$\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{DC},\quad \overrightarrow{C_1B_1}=\overrightarrow{DA},\quad \overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{DD_1},$$
то
$$\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{C_1B_1}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{DB_1}.$$
Поскольку $$\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B},$$
а также $$\overrightarrow{A_1D_1}=\overrightarrow{AD},$$
получаем
$$\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A_1D_1}=\overrightarrow{A_1B}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A_1C}.$$
Так как $$\overrightarrow{B_1A_1}=\overrightarrow{BA},\quad \overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1},\quad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},$$
то
$$\overrightarrow{B_1A_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD_1}.$$
Ответ: а) $$\overrightarrow{AC_1}$$; б) $$\overrightarrow{DB_1}$$; в) $$\overrightarrow{DB_1}$$; г) $$\overrightarrow{A_1C}$$; д) $$\overrightarrow{BD_1}$$.
