Упр.594 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Даны параллелограммы $$ABCD$$ и $$AB_1C_1D_1$$. Докажите, что векторы $$\vec{BB_1}$$, $$\vec{CC_1}$$ и $$\vec{DD_1}$$ компланарны.

Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{CC_1}$$.

По правилу сложения векторов можно записать:

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{D_1C_1}.$$

Так как $$ABCD$$ и $$AB_1C_1D_1$$ — параллелограммы, то их противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}, \qquad \overrightarrow{D_1C_1}=\overrightarrow{AB_1}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{AB_1}.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{DD_1}+\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}\right)=\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{BB_1}.$$

Следовательно, вектор $$\overrightarrow{CC_1}$$ выражается через векторы $$\overrightarrow{BB_1}$$ и $$\overrightarrow{DD_1}$$. Значит, векторы $$\overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1},\ \overrightarrow{DD_1}$$ компланарны.

Ответ: $$\overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1},\ \overrightarrow{DD_1}$$ компланарны.