Упр.594 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1. Докажите, что векторы BB1, CC1 и DD1 компланарны.

Подробный ответ

Обозначим через $$\vec{a}=\overrightarrow{AB},\quad \vec{b}=\overrightarrow{AD},\quad \vec{c}=\overrightarrow{AB_1}.$$

Так как $$ABCD$$ и $$AB_1C_1D_1$$ — параллелограммы, то

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA},\qquad \overrightarrow{D_1C_1}=\overrightarrow{AB_1},\qquad \overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{AA_1}.$$

Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{CC_1}$$. Его можно представить как сумму векторов, идущих по ломаной $$C \to D \to D_1 \to C_1$$:

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{D_1C_1}.$$

Подставим равные векторы из свойств параллелограммов:

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{AB_1}.$$

Так как $$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{BB_1},$$ получаем

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{BB_1}.$$

Следовательно, вектор $$\overrightarrow{CC_1}$$ выражается через два неколлинеарных вектора $$\overrightarrow{BB_1}$$ и $$\overrightarrow{DD_1}$$, значит векторы $$\overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1},\ \overrightarrow{DD_1}$$ компланарны.