Упр.593 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$E$$ и $$F$$ — середины рёбер $$AC$$ и $$BD$$ тетраэдра $$ABCD$$. Докажите, что $$2\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$$. Компланарны ли векторы $$\overrightarrow{FE}$$, $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$?

Пусть $$\vec{FE}=\vec{FD}+\vec{DC}+\vec{CE}.$$

С другой стороны, можно записать

$$\vec{FE}=\vec{FB}+\vec{BA}+\vec{AE}.$$

Так как $$F$$ — середина ребра $$BD$$, то $$\vec{FD}=-\vec{FB}.$$

Так как $$E$$ — середина ребра $$AC$$, то $$\vec{CE}=-\vec{AE}.$$

Сложим два равенства для $$\vec{FE}$$:

$$2\vec{FE}=\vec{FD}+\vec{DC}+\vec{CE}+\vec{FB}+\vec{BA}+\vec{AE}.$$

Подставляя $$\vec{FD}=-\vec{FB}$$ и $$\vec{CE}=-\vec{AE}$$, получаем

$$2\vec{FE}=\vec{BA}+\vec{DC}.$$

Следовательно,

$$\vec{FE}=\frac12\vec{BA}+\frac12\vec{DC},$$

то есть вектор $$\vec{FE}$$ выражается через линейную комбинацию векторов $$\vec{BA}$$ и $$\vec{DC}$$. Значит, векторы $$\vec{FE},\ \vec{BA},\ \vec{DC}$$ компланарны.

Ответ: $$2\vec{FE}=\vec{BA}+\vec{DC}$$; да, компланарны.