Упр.593 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки E и F — середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE — BA + DC. Компланарны ли векторы FE, BA и DC?

Подробный ответ

Так как $$E$$ — середина ребра $$AC$$, а $$F$$ — середина ребра $$BD$$, то

$$AE=EC,\qquad BF=FD.$$

Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{FE}$$ как сумму векторов по ломаной $$F \to D \to C \to E$$:

$$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}.$$

Но также можно записать

$$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}.$$

Сложим эти два равенства:

$$2\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}.$$

Так как $$BF=FD$$, то $$\overrightarrow{FD}=-\overrightarrow{FB}$$, а так как $$AE=EC$$, то $$\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AE}$$. Тогда

$$2\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}.$$

Значит, вектор $$\overrightarrow{FE}$$ выражается через векторы $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$, то есть векторы $$\overrightarrow{FE}$$, $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ компланарны.