Упр.592 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Какие из следующих трёх векторов компланарны: а) $$AA_1$$, $$CC_1$$, $$BB_1$$; б) $$AB$$, $$AD$$, $$AA_1$$; в) $$B^B$$, $$AC$$, $$DD_1$$; г) $$AD$$, $$CC^$$, $$лД$$?
Рассмотрим каждый случай.
$$\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ — параллельны, так как все они направлены вдоль боковых рёбер параллелепипеда. Параллельные векторы всегда компланарны, значит, эти три вектора компланарны.
$$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA_1}$$ не компланарны, потому что векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ лежат в плоскости основания $$ABCD$$, а вектор $$\overrightarrow{AA_1}$$ не лежит в этой плоскости.
$$\overrightarrow{B_1B},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{DD_1}$$ компланарны. Действительно, $$\overrightarrow{B_1B}$$ и $$\overrightarrow{DD_1}$$ параллельны боковым рёбрам, значит, они равны по направлению соответствующим векторам $$\overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{CC_1}$$. Тогда векторы $$\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ лежат в одной плоскости, следовательно, и данные три вектора компланарны.
$$\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CC_1},\ \overrightarrow{A_1B_1}$$ не компланарны. Если отложить их от одной точки, то получим векторы, параллельные соответственно $$\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{AB}$$, а эти три вектора не лежат в одной плоскости.
Ответ: а) и в).
