Упр.591 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если векторы $$a+b$$ и $$a-b$$ не коллинеарны, то не коллинеарны и векторы: а) $$a$$ и $$b$$; б) $$a+2b$$ и $$2a-b$$.

Докажем утверждение от противного.

а)

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$k$$ такое, что $$\vec a=k\vec b$$.

Тогда

$$\vec a+\vec b=k\vec b+\vec b=(k+1)\vec b,$$

$$\vec a-\vec b=k\vec b-\vec b=(k-1)\vec b.$$

Значит, векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны.

б)

Пусть векторы $$\vec a+2\vec b$$ и $$2\vec a-\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a+2\vec b=k(2\vec a-\vec b).$$

Перенесём слагаемые:

$$\vec a+2\vec b=2k\vec a-k\vec b,$$

$$(2+k)\vec b=(2k-1)\vec a.$$

Отсюда

$$\vec a=\frac{k+2}{2k-1}\vec b.$$

Значит, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, а тогда и векторы

$$\vec a+\vec b=\left(\frac{k+2}{2k-1}+1\right)\vec b,$$

$$\vec a-\vec b=\left(\frac{k+2}{2k-1}-1\right)\vec b$$

коллинеарны. Это противоречит условию. Следовательно, векторы $$\vec a+2\vec b$$ и $$2\vec a-\vec b$$ не коллинеарны.

Ответ

$$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны; $$\vec a+2\vec b$$ и $$2\vec a-\vec b$$ не коллинеарны.