Упр.591 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если векторы а + b и а — b не коллинеарны, то не коллинеарны и векторы: а) а и b; б) а + 2b и 2a — b.

Подробный ответ

а) Докажем от противного. Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$k$$ такое, что $$\vec a=k\vec b$$.

Тогда

$$\vec a+\vec b=k\vec b+\vec b=(k+1)\vec b,$$

$$\vec a-\vec b=k\vec b-\vec b=(k-1)\vec b.$$

Значит, векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ коллинеарны. Это противоречит условию. Следовательно, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны.

б) Докажем от противного. Пусть векторы $$\vec a+2\vec b$$ и $$2\vec a-\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a+2\vec b=k(2\vec a-\vec b).$$

Преобразуем:

$$\vec a+2\vec b=2k\vec a-k\vec b,$$

$$2\vec b+k\vec b=2k\vec a-\vec a,$$

$$ (2+k)\vec b=(2k-1)\vec a.$$

Отсюда

$$\vec a=\frac{k+2}{2k-1}\vec b.$$

Значит, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, а тогда и векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ коллинеарны. Это противоречит условию.

Следовательно, векторы $$\vec a+2\vec b$$ и $$2\vec a-\vec b$$ не коллинеарны.