Упр.590 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Векторы a + 2b и а — 3b коллинеарны. Докажите, что векторы a и b коллинеарны.

Так как векторы $$\vec a+2\vec b$$ и $$\vec a-3\vec b$$ коллинеарны, то существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a+2\vec b=k(\vec a-3\vec b).$$

Раскроем скобки:

$$\vec a+2\vec b=k\vec a-3k\vec b.$$

Перенесём слагаемые с одинаковыми векторами в одну сторону:

$$\vec a-k\vec a=-3k\vec b-2\vec b,$$

$$ (1-k)\vec a=-(3k+2)\vec b,$$

или

$$ (k-1)\vec a=(3k+2)\vec b.$$

Если $$k\neq 1$$, то

$$\vec a=\frac{3k+2}{k-1}\vec b,$$

значит, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Если же $$k=1$$, то из равенства

$$\vec a+2\vec b=\vec a-3\vec b$$

получаем

$$5\vec b=\vec 0,$$

то есть $$\vec b=\vec 0.$$ Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, следовательно, и в этом случае векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Ответ

Векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.