Упр.590 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$a+2b$$ и $$a-3b$$ коллинеарны. Докажите, что векторы $$a$$ и $$b$$ коллинеарны.

Так как векторы $$\vec a+2\vec b$$ и $$\vec a-3\vec b$$ коллинеарны, то существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a+2\vec b=k(\vec a-3\vec b).$$

Раскроем скобки:

$$\vec a+2\vec b=k\vec a-3k\vec b.$$

Перенесём слагаемые с одинаковыми векторами в разные части:

$$\vec a-k\vec a=-3k\vec b-2\vec b,$$

$$(1-k)\vec a=-(3k+2)\vec b.$$

Если $$k\ne 1,$$, то

$$\vec a=\frac{3k+2}{k-1}\vec b,$$

то есть вектор $$\vec a$$ является скалярным множителем вектора $$\vec b$$. Следовательно, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Если же $$k=1,$$, то из равенства $$\vec a+2\vec b=\vec a-3\vec b$$ получаем $$5\vec b=\vec 0,$$ значит $$\vec b=\vec 0$$, и векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ также коллинеарны.

Ответ: векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.