Упр.59 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости а, проходит плоскость, параллельная плоскости а, и притом только одна. Решение Проведем в плоскости а две пересекающиеся прямые а и b, а через точку A проведем прямые O1 и Ьи соответственно параллельные прямым а и b. Рассмотрим плоскость p, проходящую через прямые а, и ft,. Плоскость p — искомая, так как она проходит через точку A и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости а. Докажем теперь, что P — единственная плоскость, проходящая через данную точку A и параллельная плоскости а. B самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость p, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость а (задача 58).

Подробный ответ

Проведём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$. Через точку $$A$$, не лежащую в плоскости $$\alpha$$, проведём прямые $$a_1$$ и $$b_1$$, соответственно параллельные прямым $$a$$ и $$b$$.

Рассмотрим плоскость $$\beta$$, проходящую через прямые $$a_1$$ и $$b_1$$. Эта плоскость существует и единственна, так как через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Плоскость $$\beta$$ проходит через точку $$A$$. Кроме того, в плоскости $$\beta$$ лежат две пересекающиеся прямые $$a_1$$ и $$b_1$$, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым $$a$$ и $$b$$ плоскости $$\alpha$$. Значит, по признаку параллельности двух плоскостей

$$\beta \parallel \alpha.$$

Докажем единственность. Пусть существует другая плоскость, проходящая через точку $$A$$ и параллельная плоскости $$\alpha$$. Тогда она пересекает плоскость $$\beta$$, а значит, по задаче 58, пересекает и плоскость $$\alpha$$. Это противоречит параллельности этой плоскости плоскости $$\alpha$$.

Следовательно, через точку $$A$$, не лежащую в плоскости $$\alpha$$, проходит ровно одна плоскость, параллельная плоскости $$\alpha$$.