Упр.588 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$a$$ и $$c$$, а также $$b$$ и $$c$$ коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) $$a+b$$ и $$c$$; б) $$a-b$$ и $$c$$; в) $$a+3b$$ и $$c$$; г) $$-a+2b$$ и $$c$$.

Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec c$$ коллинеарны, а также $$\vec b$$ и $$\vec c$$ коллинеарны, то существуют числа $$k$$ и $$n$$ такие, что

$$\vec a=k\vec c,\qquad \vec b=n\vec c.$$

Тогда:

1. $$\vec a+\vec b=k\vec c+n\vec c=(k+n)\vec c,$$ значит, $$\vec a+\vec b$$ коллинеарен $$\vec c$$.
2. $$\vec a-\vec b=k\vec c-n\vec c=(k-n)\vec c,$$ значит, $$\vec a-\vec b$$ коллинеарен $$\vec c$$.
3. $$\vec a+3\vec b=k\vec c+3n\vec c=(k+3n)\vec c,$$ значит, $$\vec a+3\vec b$$ коллинеарен $$\vec c$$.
4. $$-\vec a+2\vec b=-k\vec c+2n\vec c=(2n-k)\vec c,$$ значит, $$-\vec a+2\vec b$$ коллинеарен $$\vec c$$.

Следовательно, во всех случаях указанные векторы коллинеарны вектору $$\vec c$$.

Ответ: $$\vec a+\vec b,\ \vec a-\vec b,\ \vec a+3\vec b,\ -\vec a+2\vec b$$ коллинеарны $$\vec c$$.