Упр.586 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Три точки $A$, $B$ и $M$ удовлетворяют условию $$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}$$, где $$\lambda\ne-1$$. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки $O$ пространства выполняется равенство.

Подробный ответ

Из равенства $$\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{MB}$$ следует, что векторы $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{MB}$$ коллинеарны. Значит, прямые $$AM$$ и $$MB$$ либо параллельны, либо совпадают. Но они имеют общую точку $$M$$, следовательно, это одна и та же прямая. Поэтому точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$ лежат на одной прямой.

Теперь выразим векторы через радиус-векторы точки $$O$$:

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}, \qquad \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}.$$

Подставим это в данное равенство:

$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\lambda\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}\right).$$

Раскроем скобки и перенесём слагаемые:

$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}-\lambda\overrightarrow{OM},$$
$$\left(1+\lambda\right)\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}.$$

Так как $$\lambda\ne -1$$, то можно разделить на $$1+\lambda$$:

$$\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}}{1+\lambda}.$$

Ответ: точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$ лежат на одной прямой, а $$\overrightarrow{OM}=\dfrac{\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}}{1+\lambda}$$.