Упр.585 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что в параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{B_1D}=2\overrightarrow{BC}.$$

Подробный ответ

Рассмотрим параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$$. Кроме того, в параллелепипеде боковые рёбра равны и параллельны, значит $$\overrightarrow{B_1A}=\overrightarrow{C_1D}=-\overrightarrow{DC_1}$$.

Запишем сумму векторов:

$$\overrightarrow{B_1D}=\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{AD},$$
$$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC_1}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{B_1D} =\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC_1}\right)+\left(\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{AD}\right) =2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC_1}+\overrightarrow{B_1A}.$$

Подставим $$\overrightarrow{B_1A}=-\overrightarrow{DC_1}$$:

$$\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{B_1D} =2\overrightarrow{AD} =2\overrightarrow{BC}.$$

Что и требовалось доказать.