Упр.583 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $M$ и $N$ — середины оснований $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$, а $O$ — произвольная точка пространства. Выразите вектор $$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$$ через векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$.

Подробный ответ

Пусть $$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM},$$ а $$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$$ Тогда

$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} =\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DN}.$$

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины оснований трапеции, то $$AM=MB$$ и $$DN=NC$$. Следовательно,

$$\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BM}, \qquad \overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{NC}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} =\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DN} =\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{ND}.$$

С другой стороны,

$$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NM}.$$

Теперь выразим $$\overrightarrow{NM}$$ через $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$:

$$\overrightarrow{NM} =\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM} =\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}.$$

Так как $$\overrightarrow{ND}=-\overrightarrow{NC}$$ и $$\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BM},$$ получаем

$$2\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CB}.$$

Но $$\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC},$$ значит

$$2\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} =\overrightarrow{NM} =-\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right).$$

Ответ: $$-\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right).$$