Упр.582 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$E$$ и $$F$$ — середины оснований $$AB$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$, а $$O$$ — произвольная точка пространства. Выразите: а) $$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$$ через вектор $$\overrightarrow{EF}$$; б) $$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}$$ через вектор $$\overrightarrow{DC}$$.

а) $$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC},$$ поэтому

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AC}.$$

Так как точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC,$$ то $$EF$$ — средняя линия, значит

$$\overrightarrow{EF}=\frac12\overrightarrow{AC}.$$

Следовательно,

$$-\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{EF}.$$

б) $$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EA},$$ поэтому

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{EA}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$AB=CD$$ и $$AB\parallel CD,$$ а так как $$E$$ — середина $$AB,$$ то

$$\overrightarrow{EA}=\frac12\overrightarrow{BA}=-\frac12\overrightarrow{AB}=-\frac12\overrightarrow{DC}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OE}=-\frac12\overrightarrow{DC}.$$

Ответ: а) $$-2\overrightarrow{EF}$$; б) $$-\frac12\overrightarrow{DC}$$.