Упр.581 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагонали куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, что: а) AB = k • CD; б) AC1 = k ¦ АО; в) OB1 = k ¦ B1D.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, а точку $$O$$ — точку пересечения его диагоналей.

а) Противоположные рёбра куба равны и параллельны, но направлены в противоположные стороны, поэтому

$$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{CD}\Rightarrow k=-1.$$

б) Точка $$O$$ — середина пространственной диагонали $$AC_1$$, значит

$$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC_1}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{AC_1}=2\overrightarrow{AO},$$

то есть

$$\overrightarrow{AC_1}=k\cdot \overrightarrow{AO}\Rightarrow k=2.$$

в) Точка $$O$$ — середина диагонали $$B_1D$$, поэтому

$$\overrightarrow{OB_1}=-\overrightarrow{B_1O}.$$

Так как $$O$$ — середина $$B_1D$$, то

$$\overrightarrow{B_1D}=2\overrightarrow{B_1O}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OB_1}=k\cdot \overrightarrow{B_1D}=k\cdot \left(-2\overrightarrow{OB_1}\right),$$

откуда

$$k=-\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$a)~ -1;\quad b)~ 2;\quad c)~ -\frac{1}{2}.$$