Упр.581 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Диагонали куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите число $$k$$ такое, что: а) $$AB=k\cdot CD$$; б) $$AC_1=k\cdot AO$$; в) $$OB_1=k\cdot B_1D$$.

Обозначим через $$\vec{AB}$$, $$\vec{CD}$$, $$\vec{AC_1}$$, $$\vec{AO}$$, $$\vec{OB_1}$$ и $$\vec{B_1D}$$ соответствующие векторы.

Ход решения

а) В кубе противоположные рёбра параллельны и равны, но направлены в разные стороны, поэтому

$$\vec{AB}=-\vec{CD}.$$

Сравнивая с условием $$\vec{AB}=k\cdot \vec{CD}$$, получаем

$$k=-1.$$

б) Точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей куба, значит, она делит пространственную диагональ пополам. Следовательно,

$$\vec{AO}=\frac12\vec{AC_1}.$$

Тогда

$$\vec{AC_1}=2\vec{AO}.$$

Значит, в равенстве $$\vec{AC_1}=k\cdot \vec{AO}$$ имеем

$$k=2.$$

в) Так как $$O$$ — середина диагонали $$B_1D$$, то

$$\vec{OB_1}=-\vec{OD}.$$

Кроме того,

$$\vec{B_1D}=\vec{B_1O}+\vec{OD}.$$

Но $$\vec{B_1O}=\vec{OB_1}$$ с противоположным направлением, а поскольку $$O$$ — середина $$B_1D$$, то

$$\vec{B_1D}=2\vec{OD}=-2\vec{OB_1}.$$

Следовательно,

$$\vec{OB_1}=-\frac12\vec{B_1D}.$$

Значит,

$$k=-\frac12.$$

Ответ

$$a)\\,-1; \quad б)\\,2; \quad в)\\,-\frac12.$$