Упр.580 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Известно, что $$AO=-AB$$. Докажите, что точки A и B симметричны относительно точки О.

Пусть $$\vec{AO}=-\vec{AB}.$$ Тогда

$$\vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}.$$

Подставим сюда условие $$\vec{AO}=-\vec{AB}$$:

$$\vec{AB}=-\vec{AB}+\vec{OB},$$
$$\vec{OB}=2\vec{AB}.$$

Но из равенства $$\vec{AO}=-\vec{AB}$$ следует, что векторы $$\vec{AO}$$ и $$\vec{AB}$$ противоположны, значит точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой. Кроме того,

$$\vec{AO}=-\vec{AB}\quad \Rightarrow \quad AO=AB,$$

то есть точка $$O$$ делит отрезок $$AB$$ пополам. Следовательно, точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно точки $$O$$.

Ответ: точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно точки $$O$$.