Упр.579 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка P — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке P, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке P, образованных апофемами.

Пусть $$H_1,H_2,H_3,H_4,H_5,H_6$$ — основания апофем правильной шестиугольной пирамиды, опущенных соответственно на грани $$PA_1A_2,\,PA_2A_3,\,\ldots,\,PA_6A_1$$.

Рассмотрим, например, грань $$PA_1A_2$$. Так как пирамида правильная, то боковые грани — равные равнобедренные треугольники, а значит, апофема $$PH_1$$ является высотой этой грани. Поэтому в треугольнике $$PA_1A_2$$ точки $$A_1$$ и $$A_2$$ симметричны относительно прямой $$PH_1$$, и векторы $$\overrightarrow{H_1A_1}$$ и $$\overrightarrow{H_1A_2}$$ равны по модулю и противоположны по направлению:

$$\overrightarrow{H_1A_1}+\overrightarrow{H_1A_2}=\vec 0.$$

Тогда

$$\overrightarrow{PA_1}=\overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{H_1A_1}, \qquad \overrightarrow{PA_2}=\overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{H_1A_2}.$$

Складывая, получаем:

$$\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2}=2\overrightarrow{PH_1}.$$

Аналогично для остальных граней:

$$\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3}=2\overrightarrow{PH_2},$$

$$\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4}=2\overrightarrow{PH_3},$$

$$\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5}=2\overrightarrow{PH_4},$$

$$\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6}=2\overrightarrow{PH_5},$$

$$\overrightarrow{PA_6}+\overrightarrow{PA_1}=2\overrightarrow{PH_6}.$$

Сложим все эти равенства:

$$ (\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2})+ (\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3})+ (\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4})+ (\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5})+ (\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6})+ (\overrightarrow{PA_6}+\overrightarrow{PA_1}) = 2(\overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{PH_2}+\overrightarrow{PH_3}+\overrightarrow{PH_4}+\overrightarrow{PH_5}+\overrightarrow{PH_6}). $$

Левая часть равна

$$2(\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6}).$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6} = \overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{PH_2}+\overrightarrow{PH_3}+\overrightarrow{PH_4}+\overrightarrow{PH_5}+\overrightarrow{PH_6}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6} = \overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{PH_2}+\overrightarrow{PH_3}+\overrightarrow{PH_4}+\overrightarrow{PH_5}+\overrightarrow{PH_6}.$$