Упр.579 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка P — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке P, образованных боковыми рёбрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке P, образованных апофемами.

Подробный ответ

Построим апофемы правильной шестиугольной пирамиды $$PH_1,PH_2,PH_3,PH_4,PH_5,PH_6,$$ где точки $$H_1,H_2,\dots,H_6$$ — основания апофем на сторонах основания.

Рассмотрим грань $$PA_1A_2.$$ Так как пирамида правильная, то эта грань — равнобедренный треугольник, а точка $$H_1$$ лежит на стороне $$A_1A_2$$ и является её серединой. Поэтому

$$\overrightarrow{PA_1}=\overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{H_1A_1},$$
$$\overrightarrow{PA_2}=\overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{H_1A_2}.$$

Но $$H_1$$ — середина $$A_1A_2$$, значит векторы $$\overrightarrow{H_1A_1}$$ и $$\overrightarrow{H_1A_2}$$ равны по модулю и противоположны по направлению, то есть

$$\overrightarrow{H_1A_1}+\overrightarrow{H_1A_2}=\vec 0.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2}=2\overrightarrow{PH_1}.$$

Аналогично для остальных граней получаем:

$$\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3}=2\overrightarrow{PH_2},$$
$$\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4}=2\overrightarrow{PH_3},$$
$$\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5}=2\overrightarrow{PH_4},$$
$$\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6}=2\overrightarrow{PH_5},$$
$$\overrightarrow{PA_6}+\overrightarrow{PA_1}=2\overrightarrow{PH_6}.$$

Сложим все эти равенства:

$$(\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2})+ (\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3})+ (\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4})+ (\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5})+ (\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6})+ (\overrightarrow{PA_6}+\overrightarrow{PA_1}) = 2(\overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{PH_2}+\overrightarrow{PH_3}+\overrightarrow{PH_4}+\overrightarrow{PH_5}+\overrightarrow{PH_6}).$$

Левая часть равна

$$2(\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6}).$$

Тогда

$$\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{PA_2}+\overrightarrow{PA_3}+\overrightarrow{PA_4}+\overrightarrow{PA_5}+\overrightarrow{PA_6} = \overrightarrow{PH_1}+\overrightarrow{PH_2}+\overrightarrow{PH_3}+\overrightarrow{PH_4}+\overrightarrow{PH_5}+\overrightarrow{PH_6}.$$

Что и требовалось доказать.