Упр.578 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной $$P$$ является трапеция $$ABCD$$. Точка $$O$$ — середина средней линии трапеции. Докажите, что $$PA + PB + PC + PD = 4PO$$.
Обозначим через $$M$$ и $$N$$ середины боковых сторон $$AD$$ и $$BC$$ трапеции $$ABCD$$. Тогда $$MN$$ — средняя линия трапеции, а точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$.
По правилу треугольника имеем:
$$\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AO},\quad \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BO},\quad \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CO},\quad \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DO}.$$
Сложим эти равенства:
$$4\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}.$$
Осталось показать, что
$$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}.$$
Так как $$O$$ — середина $$MN$$, то
$$\overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{NO}.$$
Кроме того, из того, что $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$, получаем:
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MD},\qquad \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}.$$
Теперь выразим нужные векторы через $$M$$ и $$N$$:
$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO},$$
$$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NO},$$
$$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NO},$$
$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MO}.$$
Так как $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MD}$$ и $$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}$$, а также $$\overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{NO}$$, то при сложении получаем:
$$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}.$$
Следовательно,
$$4\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}.$$
Что и требовалось доказать.
