Упр.578 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной P является трапеция ABCD. Точка O — середина средней линии трапеции. Докажите, что PA + PB + PC + PD = 4 PO.

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ и $$N$$ середины боковых сторон $$AD$$ и $$BC$$ трапеции $$ABCD$$. Тогда $$MN$$ — средняя линия трапеции, а точка $$O$$ — середина отрезка $$MN$$, то есть $$MO=ON$$.

Запишем векторы от точки $$P$$ к вершинам основания через вектор $$\overrightarrow{PO}$$:

$$\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AO},\quad \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BO},\quad \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CO},\quad \overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DO}.$$

Сложим эти равенства:

$$4\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}.$$

Осталось доказать, что

$$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}.$$

По правилу треугольника:

$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO},\quad \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NO},$$

$$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MO},\quad \overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NO}.$$

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MD},\quad \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}.$$

Кроме того, точки $$M, O, N$$ лежат на одной прямой и $$MO=ON$$, значит

$$\overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{NO}.$$

Тогда

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO} &=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO})+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NO})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NO})+(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MO}) \\ &=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}+2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{NO}. \end{aligned} $$

Но $$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{0}$$ и $$\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}$$, а также $$\overrightarrow{MO}=-\overrightarrow{NO}$$, поэтому

$$2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{NO}=\overrightarrow{0}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}.$$

Подставляя это в полученное ранее равенство, имеем

$$4\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}.$$

Что и требовалось доказать.