Упр.577 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дана треугольная призма $$ABC A_1B_1C_1$$. Укажите вектор $$\vec{x}$$, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что:
а) $$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{B_1C}-\vec{x}=\overrightarrow{BA}$$;
б) $$\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{BB_1}+\vec{x}=\overrightarrow{AB}$$;
в) $$\overrightarrow{AB_1}+\vec{x}=\overrightarrow{AC}-\vec{x}+\overrightarrow{BC_1}$$.

Подробный ответ

Обозначим искомый вектор через $$\vec x$$.

Ход решения

а) Из равенства

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{B_1C}-\vec x=\overrightarrow{BA}$$

получаем

$$\vec x=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{B_1C}-\overrightarrow{BA}.$$

Так как в призме $$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}$$ и $$\overrightarrow{B_1C}=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{BC}$$, а также $$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA},$$ то удобнее записать:

$$\vec x=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{B_1C}+\overrightarrow{AB}.$$

Тогда

$$\vec x=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1C}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}.$$

б) Из равенства

$$\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{BB_1}+\vec x=\overrightarrow{AB}$$

получаем

$$\vec x=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{BB_1}.$$

Так как $$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}$$ и $$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{BB_1},$$ то

$$\vec x=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$$

Следовательно,

$$\vec x=\overrightarrow{C_1B_1}.$$

в) Из равенства

$$\overrightarrow{AB_1}+\vec x=\overrightarrow{AC}-\vec x+\overrightarrow{BC_1}$$

получаем

$$2\vec x=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{AB_1}.$$

Разложим векторы через ребра призмы:

$$\overrightarrow{BC_1}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_1}, \qquad \overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}.$$

Так как $$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{BB_1},$$ то

$$2\vec x=\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_1})-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}.$$

Но

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC},$$

значит

$$2\vec x=2\overrightarrow{BC},$$

откуда

$$\vec x=\overrightarrow{BC}.$$