Упр.576 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Укажите вектор $$\vec{x}$$, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что:
а) $$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D_1A_1}+\overrightarrow{CD_1}+\vec{x}+\overrightarrow{A_1C_1}-\overrightarrow{DB}$$;
б) $$\overrightarrow{DA}+\vec{x}+\overrightarrow{D_1B}+\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{DC}$$.

Подробный ответ

а) Сгруппируем слагаемые:

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D_1A_1}+\overrightarrow{CD_1}+\vec x+\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{DB}.$$

Так как в параллелепипеде $$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD_1}+\overrightarrow{D_1A_1}+\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{DC_1},$$ то получаем

$$\overrightarrow{DC_1}+\vec x=\overrightarrow{DB}.$$

Следовательно,

$$\vec x=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC_1}=\overrightarrow{C_1D}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{C_1B}.$$

б) Аналогично:

$$\overrightarrow{DA}+\vec x+\overrightarrow{D_1B}+\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DC}.$$

Так как $$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{D_1B}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DC},$$ то

$$\overrightarrow{DC}+\vec x=\overrightarrow{DC}.$$

Отсюда

$$\vec x=\overrightarrow{AC}.$$

Ответ: а) $$\overrightarrow{C_1B}$$; б) $$\overrightarrow{AC}$$.