Упр.576 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор x, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что: а)DC + D1A1 + CD1 + x + A1C1 — DB; б) DA + x + D1B + AD1 + BA — DC.

а) Используем правило сложения векторов:

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D_1A_1}+\overrightarrow{CD_1}+\vec{x}+\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{DB}.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\bigl(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD_1}+\overrightarrow{D_1A_1}+\overrightarrow{A_1C_1}\bigr)+\vec{x}=\overrightarrow{DB}.$$

Так как

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD_1}=\overrightarrow{DD_1}, \qquad \overrightarrow{D_1A_1}+\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{D_1C_1},$$

то

$$\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{D_1C_1}+\vec{x}=\overrightarrow{DB},$$

а значит

$$\overrightarrow{DC_1}+\vec{x}=\overrightarrow{DB}.$$

Отсюда

$$\vec{x}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC_1}=\overrightarrow{C_1B}.$$

б) Аналогично:

$$\overrightarrow{DA}+\vec{x}+\overrightarrow{D_1B}+\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DC}.$$

Сгруппируем:

$$\bigl(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{D_1B}+\overrightarrow{BA}\bigr)+\vec{x}=\overrightarrow{DC}.$$

Так как

$$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{DD_1}, \qquad \overrightarrow{D_1B}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{D_1A},$$

то

$$\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{D_1A}+\vec{x}=\overrightarrow{DC},$$

то есть

$$\overrightarrow{DA}+\vec{x}=\overrightarrow{DC}.$$

Следовательно,

$$\vec{x}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}.$$

Ответ

а) $$\overrightarrow{C_1B}$$; б) $$\overrightarrow{AC}$$.