Упр.575 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + OC1 = = OC + OAj, где O — произвольная точка пространства.

Рассмотрим векторы $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC_1}$$. Запишем их через точки $$A_1$$ и $$C$$:

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{A_1A},$$

откуда

$$\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA_1}.$$

Аналогично

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{C_1C},$$

следовательно,

$$\overrightarrow{C_1C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_1}.$$

В параллелепипеде ребра $$A_1A$$ и $$C_1C$$ параллельны и равны, значит

$$\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{C_1C}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_1}.$$

Перенесём слагаемые:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}.$$