Упр.575 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что $$OA+OC_1=OC+OA_1,$$ где \(O\) — произвольная точка пространства.

Рассмотрим векторы $$\overrightarrow{OA}$$ и $$\overrightarrow{OC_1}$$.

Запишем их через точки параллелепипеда:

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{A_1A},$$

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{C_1C}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA_1},$$

$$\overrightarrow{C_1C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_1}.$$

В параллелепипеде противоположные рёбра равны и параллельны, значит

$$\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{C_1C}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_1}.$$

Переносим слагаемые:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}.$$

Что и требовалось доказать.