Упр.574 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Упростите выражение: а) $$OP-EP+KD-KA$$; б) $$AD+MP+EK-EP-MD$$; в) $$AC-BC-PM-AP+BM$$.

Воспользуемся свойствами противоположных векторов и правилом сложения векторов.

а) $$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{KD}-\overrightarrow{KA}$$

Так как $$-\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{PE}$$ и $$-\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{AK},$$ получаем

$$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{AK}$$
$$=\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PE}\right)+\left(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD}\right)$$
$$=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{AD}.$$

б) $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{EK}-\overrightarrow{EP}-\overrightarrow{MD}$$

Преобразуем отрицательные векторы: $$-\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{PE},\quad -\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DM}.$$ Тогда

$$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{DM}$$
$$=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}\right)+\left(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PE}\right)+\overrightarrow{EK}$$
$$=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AK}.$$

в) $$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM}$$

Заменим противоположные векторы:

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BM}$$
$$=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MP}\right)+\overrightarrow{PA}$$
$$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}.$$

Ответ: а) $$\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{AD}$$; б) $$\overrightarrow{AK}$$; в) $$\vec{0}$$.