Упр.574 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Упростите выражение: а) OP — EP + KD — KA; б) AD + MP + EK —EP — MD; в) AC-BC- PM — AP+ BM.

Воспользуемся свойствами сложения векторов: переместительным и сочетательным законами, а также равенствами $$-\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{PE}$$, $$-\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{AK}$$, $$-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DM}$$, $$-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}$$, $$-\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MP}$$, $$-\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PA}$$.

а)

$$ \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{KD}-\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{AK} $$

$$ = (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PE})+(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD}) = \overrightarrow{OE}+\overrightarrow{AD}. $$

б)

$$ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{EK}-\overrightarrow{EP}-\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{DM} $$

$$ = (\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM})+(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PE})+\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{AK}. $$

в)

$$ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BM} $$

$$ = (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MP})+\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}. $$

Ответ

а) $$\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{AD}$$; б) $$\overrightarrow{AK}$$; в) $$\overrightarrow{0}$$.