Упр.572 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Упростите выражение: а) AB + MN + BC + CA + PQ + NM; б) FK + +MQ + KP + AM + QK + PF; в) KM + DF + AC + FK + CD + CA + + MP;r) AB + BA + CD + MN +DC + NM.

Воспользуемся переместительным и сочетательным законами сложения векторов, а также тем, что $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$$ для любых точек $$A$$ и $$B$$.

а)

$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NM} = (\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NM})+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})+\overrightarrow{PQ}. $$

Так как $$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NM}=\vec{0}$$ и
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}, $$
то получаем
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NM} =\overrightarrow{PQ}. $$

б)

$$ \overrightarrow{FK}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{QK}+\overrightarrow{PF} = (\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{PF})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QK}). $$

Здесь
$$ \overrightarrow{FK}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{PF}=\vec{0}, $$
а
$$ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QK}=\overrightarrow{AK}. $$
Следовательно,
$$ \overrightarrow{FK}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{QK}+\overrightarrow{PF} =\overrightarrow{AK}. $$

в)

$$ \overrightarrow{KM}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MP} = (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MP})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FK}). $$

Так как
$$ \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}, \qquad \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{CK}, $$
то
$$ \overrightarrow{KM}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{KP}+\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{CP}. $$

г)

$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{NM} = (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NM}). $$

Каждая из пар противоположных векторов даёт нулевой вектор:
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}, \qquad \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}, \qquad \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NM}=\vec{0}. $$
Значит,
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{NM}=\vec{0}. $$

Ответ

а) $$\overrightarrow{PQ}$$; б) $$\overrightarrow{AK}$$; в) $$\overrightarrow{CP}$$; г) $$\vec{0}$$.