Упр.572 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Упростите выражение: а) $$AB+MN+BC+CA+PQ+NM$$; б) $$FK++MQ+KP+AM+QK+PF$$; в) $$KM+DF+AC+FK+CD+CA+MP$$; г) $$AB+BA+CD+MN+DC+NM$$.

Воспользуемся сочетательным и переместительным законами сложения векторов.

а) $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NM}$$

Сгруппируем противоположные векторы:

$$\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NM}\right)+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)+\overrightarrow{PQ}$$

Так как $$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NM}=\vec{0}$$ и $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0},$$ получаем

$$\overrightarrow{PQ}.$$

б) $$\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{QK}+\overrightarrow{PF}$$

Сгруппируем так:

$$\left(\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{PF}\right)+\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QK}\right)$$

Первую скобку преобразуем:

$$\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{FP}, \qquad \overrightarrow{FP}+\overrightarrow{PF}=\vec{0}.$$

Во второй скобке:

$$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{AQ}, \qquad \overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QK}=\overrightarrow{AK}.$$

Итак, получаем

$$\overrightarrow{AK}.$$

в) $$\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{FK}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MP}$$

Сгруппируем векторы:

$$\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MP}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FK}\right)$$

Тогда

$$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=\vec{0},$$

$$\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{KP},$$

$$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{CF}, \qquad \overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{CK}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CP}.$$

г) $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{NM}$$

Сгруппируем противоположные векторы:

$$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NM}\right)$$

Каждая из сумм равна нулевому вектору, значит

$$\vec{0}.$$

Ответ: а) $$\overrightarrow{PQ}$$; б) $$\overrightarrow{AK}$$; в) $$\overrightarrow{CP}$$; г) $$\vec{0}$$.