Упр.571 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Дан прямоугольный параллелепипед $$KLMNK_1L_1M_1N_1$$. Докажите, что:
- $$\left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right|$$;
- $$\left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right|=\left|\overrightarrow{M_1}+\overrightarrow{MM_1}\right|$$;
- $$\left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right|=\left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right|$$.
а) Так как $$\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{KK_1}$$, то
$$\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KK_1}=\overrightarrow{MK_1}.$$
С другой стороны,
$$\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{M_1M}=\overrightarrow{M_1M}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{M_1K}.$$
Следовательно,
$$\left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{MK_1}\right|,\qquad \left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{M_1K}\right|.$$
Но диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, значит
$$\left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right|.$$
б) Так как $$\overrightarrow{L_1N}=\overrightarrow{K_1L_1}+\overrightarrow{L_1N}=\overrightarrow{K_1N},$$
то
$$\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}=\overrightarrow{K_1L_1}+\overrightarrow{L_1N}=\overrightarrow{K_1N}.$$
А также, поскольку $$\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{LL_1},$$ имеем
$$\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{LL_1}=\overrightarrow{ML_1}.$$
Следовательно,
$$\left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right|=\left|\overrightarrow{K_1N}\right|,\qquad \left|\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}\right|=\left|\overrightarrow{ML_1}\right|.$$
Диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда равны, значит
$$\left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right|=\left|\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}\right|.$$
в) Имеем
$$\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}=\overrightarrow{NL}+\overrightarrow{LM_1}=\overrightarrow{NM_1}.$$
Кроме того,
$$\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}=\overrightarrow{K_1N}+\overrightarrow{NL}=\overrightarrow{K_1L}.$$
Значит,
$$\left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right|=\left|\overrightarrow{NM_1}\right|,\qquad \left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right|=\left|\overrightarrow{K_1L}\right|.$$
Диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда равны, поэтому
$$\left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right|=\left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right|.$$
