Упр.571 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK1L1M1N1. Докажите, что: а) IMK + MMj = |MK — MMj; б) {K^L1-NL1I =|M^ + MMj; в) INL — M^L\ = \K^N-LN\.

Обозначим через $$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$$ три взаимно перпендикулярных ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины. Тогда все нужные векторы можно выразить через эти ребра, а суммы и разности — упростить по правилу треугольника.

а) Рассмотрим сумму векторов $$\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}.$$

Так как $$\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{KK_1}$$, то

$$ \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KK_1} = \overrightarrow{MK_1}. $$

Следовательно,

$$ \left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right| = \left|\overrightarrow{MK_1}\right|. $$

Теперь найдём разность:

$$ \overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{M_1M} = \overrightarrow{M_1K}. $$

Значит,

$$ \left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right| = \left|\overrightarrow{M_1K}\right|. $$

Но диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда равны, поэтому

$$ \left|\overrightarrow{MK_1}\right| = \left|\overrightarrow{M_1K}\right|. $$

Следовательно,

$$ \left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right| = \left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right|. $$

б) Аналогично:

$$ \overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1} = \overrightarrow{K_1L_1}+\overrightarrow{L_1N} = \overrightarrow{K_1N}. $$

С другой стороны,

$$ \overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{ML}+\overrightarrow{LL_1} = \overrightarrow{ML_1}. $$

Тогда

$$ \left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right| = \left|\overrightarrow{K_1N}\right|, \qquad \left|\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}\right| = \left|\overrightarrow{ML_1}\right|. $$

Диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда равны, значит

$$ \left|\overrightarrow{K_1N}\right| = \left|\overrightarrow{ML_1}\right|. $$

Следовательно,

$$ \left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right| = \left|\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}\right|. $$

в) Имеем

$$ \overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L} = \overrightarrow{NL}+\overrightarrow{LM_1} = \overrightarrow{NM_1}. $$

Также

$$ \overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN} = \overrightarrow{K_1N}+\overrightarrow{NL} = \overrightarrow{K_1L}. $$

Тогда

$$ \left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right| = \left|\overrightarrow{NM_1}\right|, \qquad \left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right| = \left|\overrightarrow{K_1L}\right|. $$

Диагонали противоположных граней прямоугольного параллелепипеда равны, поэтому

$$ \left|\overrightarrow{NM_1}\right| = \left|\overrightarrow{K_1L}\right|. $$

Следовательно,

$$ \left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right| = \left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right|. $$

Ответ

$$ \left|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MM_1}\right| = \left|\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MM_1}\right|,\quad \left|\overrightarrow{K_1L_1}-\overrightarrow{NL_1}\right| = \left|\overrightarrow{ML}+\overrightarrow{MM_1}\right|,\quad \left|\overrightarrow{NL}-\overrightarrow{M_1L}\right| = \left|\overrightarrow{K_1N}-\overrightarrow{LN}\right|. $$