Упр.570 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В пространстве даны четыре точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов:

1. $$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right);$$
2. $$\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{DC}.$$

Используем правило сложения векторов и соотношение $$\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}.$$

а) Преобразуем сумму, группируя слагаемые:

$$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}) =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}.$$

Так как $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},$$ то

$$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0} =\overrightarrow{0}.$$

б) Аналогично:

$$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC}.$$

Сгруппируем векторы:

$$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB},$$

поэтому

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{DB}.$$

Ответ: а) $$\overrightarrow{0}$$; б) $$\overrightarrow{DB}$$.