Упр.569 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На рисунке 104 изображён параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Представьте векторы $$\overrightarrow{AB_1}$$ и $$\overrightarrow{DK}$$ в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.

Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то его противоположные грани параллельны и равны.

Представим вектор $$\overrightarrow{AB_1}$$ как сумму двух векторов:

$$\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{D_1B_1}.$$

Но в параллелепипеде $$\overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{BC_1}$$ и $$\overrightarrow{D_1B_1}=\overrightarrow{DB}$$, поэтому

$$\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{BD}.$$

Аналогично для вектора $$\overrightarrow{DK}$$:

$$\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}.$$

Так как соответствующие векторы равны, то $$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$$ и $$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{BM}$$, следовательно

$$\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{MB}.$$

Ответ: $$\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{BD},\quad \overrightarrow{DK}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{MB}.$$