Упр.568 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Пусть ABCD — параллелограмм, а O — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) OB — OA = OC — OD; б) OB — OC = DA.

а) По правилу треугольника имеем:

$$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}, \qquad \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}\right)=-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB},$$

$$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}\right)=-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}.$$

б) Аналогично, по правилу треугольника:

$$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}-\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\right)=-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ имеем

$$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DA}.$$

Ответ

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}, \qquad \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DA}.$$