Упр.567 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1, AD соответственно через а, b, с. Изобразите на рисунке векторы: а) a-b; б) а-с; в) b-a; г) c-b; д) с-а.

Обозначим данные векторы:

$$\overrightarrow{C_1D_1}=\vec a,\qquad \overrightarrow{BA_1}=\vec b,\qquad \overrightarrow{AD}=\vec c.$$

Используем свойства параллелепипеда: противоположные рёбра параллельны и равны, а также правило сложения векторов по ломаной.

а) $$\vec a-\vec b=\overrightarrow{C_1D_1}-\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{A_1B}.$$

Так как $$\overrightarrow{A_1B}=\overrightarrow{D_1C},$$ то

$$\vec a-\vec b=\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{D_1C}=\overrightarrow{C_1C}.$$

б) $$\vec a-\vec c=\overrightarrow{C_1D_1}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{DA}.$$

Но $$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{D_1A_1},$$ значит

$$\vec a-\vec c=\overrightarrow{C_1D_1}+\overrightarrow{D_1A_1}=\overrightarrow{C_1A_1}.$$

в) $$\vec b-\vec a=\overrightarrow{BA_1}-\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{BA_1}+\overrightarrow{D_1C_1}.$$

Так как $$\overrightarrow{D_1C_1}=\overrightarrow{AB},$$ то

$$\vec b-\vec a=\overrightarrow{BA_1}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB_1}.$$

г) $$\vec c-\vec b=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A_1B}.$$

В параллелепипеде $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A_1D_1}$$ и $$\overrightarrow{A_1B}=\overrightarrow{D_1C},$$ поэтому

$$\vec c-\vec b=\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{D_1C}=\overrightarrow{A_1C}.$$

д) $$\vec c-\vec a=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D_1C_1}.$$

Так как $$\overrightarrow{D_1C_1}=\overrightarrow{DC},$$ то

$$\vec c-\vec a=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}.$$

Ответ

а) $$\overrightarrow{C_1C}$$; б) $$\overrightarrow{C_1A_1}$$; в) $$\overrightarrow{BB_1}$$; г) $$\overrightarrow{A_1C}$$; д) $$\overrightarrow{AC}$$.