Упр.565 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан тетраэдр $$ABCD$$. Докажите, что:
а) $$AB+BD=AC+CD$$;
б) $$AB+BC=DC+AD$$;
в) $$DC+BD=AC+BA$$.

Подробный ответ

Обозначим векторы, направленные по сторонам тетраэдра. Используем правило треугольника и переместительный закон сложения векторов.

Ход решения

а) По правилу треугольника

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$$

и

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}.$$

б) Аналогично,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$

С другой стороны,

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$$

по правилу треугольника. Значит,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}.$$

в) По правилу треугольника

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}.$$

Также

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}.$$

Ответ

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD},\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD},\qquad \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}.$$