Упр.560 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha рисунке 105 изображен тетраэдр ABCD, ребра которого равны. Точки M, N, P и Q — середины сторон AB, AD, DC, ВС. а) Выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом рисунке, б) Определите вид четырехугольника MNPQ.

а) Так как $$P$$ и $$Q$$ — середины рёбер $$DC$$ и $$BC$$, то $$DP=PC$$ и точки $$D,P,C$$ лежат на одной прямой. Следовательно,

$$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PC}.$$

Аналогично, $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$AD$$, значит $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$, а $$PQ$$ — средняя линия треугольника $$DBC$$. Поэтому

$$MN \parallel BD,\qquad PQ \parallel BD,$$

откуда

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}.$$

Кроме того, $$N$$ и $$P$$ — середины рёбер $$AD$$ и $$DC$$, значит $$NP$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$, а $$Q$$ и $$M$$ — середины рёбер $$BC$$ и $$BA$$, значит $$QM$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Тогда

$$NP \parallel AC,\qquad QM \parallel AC,$$

следовательно,

$$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{QM}.$$

б) Так как тетраэдр $$ABCD$$ правильный, то его противоположные рёбра равны и перпендикулярны:

$$AC=BD,\qquad AC \perp BD.$$

Из пункта а) получаем, что

$$MN \parallel BD,\qquad NP \parallel AC.$$

Значит, $$MN \perp NP$$. Кроме того, из равенства средних линий имеем

$$MN=PQ=NP=QM=\frac12 AC.$$

Следовательно, четырёхугольник $$MNPQ$$ — ромб с прямым углом, то есть квадрат.

Ответ

а) $$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PC},\ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP},\ \overrightarrow{PN}=\overrightarrow{QM}.$$
б) $$MNPQ$$ — квадрат.