Упр.560 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

106. На рисунке 105 изображён тетраэдр ABCD, рёбра которого равны. Точки M, N, P и Q — середины сторон AB, AD, DC, BC.
     а) Выпишите все пары равных векторов, изображённых на этом рисунке.
     б) Определите вид четырёхугольника MNPQ.

Так как $$M, N, P, Q$$ — середины рёбер тетраэдра, то в треугольниках можно использовать теорему о средней линии.

В треугольнике $$DBC$$ точки $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$DC$$ и $$BC$$, значит $$PQ$$ — средняя линия, поэтому

$$PQ \parallel DB,\qquad PQ=\frac12\,DB.$$

В треугольнике $$ADB$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, значит $$MN$$ — средняя линия, поэтому

$$MN \parallel DB,\qquad MN=\frac12\,DB.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}.$$

В треугольнике $$ACD$$ точки $$N$$ и $$P$$ — середины сторон $$AD$$ и $$DC$$, значит $$NP$$ — средняя линия, поэтому

$$NP \parallel AC,\qquad NP=\frac12\,AC.$$

В треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит $$MQ$$ — средняя линия, поэтому

$$MQ \parallel AC,\qquad MQ=\frac12\,AC.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{QM}.$$

Итак, все пары равных векторов:

$$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PC},\qquad \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP},\qquad \overrightarrow{PN}=\overrightarrow{QM}.$$

Если тетраэдр $$ABCD$$ правильный, то его противоположные рёбра равны и перпендикулярны:

$$AC=BD,\qquad AC \perp BD.$$

Тогда

$$MN=PQ=\frac12\,BD,\qquad NP=QM=\frac12\,AC,$$

то есть

$$MN=NP=PQ=QM.$$

Кроме того, $$MN \parallel BD$$ и $$NP \parallel AC$$, а значит

$$MN \perp NP.$$

Следовательно, четырёхугольник $$MNPQ$$ — ромб с прямым углом, то есть квадрат.

Ответ

а) $$\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PC},\ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP},\ \overrightarrow{PN}=\overrightarrow{QM}.$$
б) $$MNPQ$$ — квадрат.